ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 5 Номер 13 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Рассмотрим вариант решения задания и 13. Решите неравенство: 1) \(5x/6 — x/4 > 7\); 2) \(x/15 + x/5 < -2\); 3) \(x/2 + x/7 > x\); 4) \(x/3 — x/2 > -1/6\).

№ 13.

1) \( \frac{5x}{6} — \frac{x}{4} > 7 \).

Умножив обе части данного неравенства на число 12, равное наименьшему общему знаменателю дробей, стоящих в левой части неравенства, получаем:

\( \frac{5x}{6} \cdot 12 — \frac{x}{4} \cdot 12 > 7 \cdot 12 \)

\( 5x \cdot 2 — x \cdot 3 > 84 \)

\( 10x — 3x > 84 \)

\( 7x > 84 \) \(| :7\)

\( x > 12 \).

Ответ: \( x > 12 \).

2) \( \frac{x}{15} + \frac{x}{5} < -2 \).

Умножив обе части данного неравенства на число 15, равное наименьшему общему знаменателю дробей, стоящих в левой части неравенства, получаем:

\( \frac{x}{15} \cdot 15 + \frac{x}{5} \cdot 15 < -2 \cdot 15 \)

\( x + 3x < -30 \)

\( 4x < -30 \) \(| :4\)

\( x < -7,5 \).

Ответ: \( x < -7,5 \).

3) \( \frac{x}{2} + \frac{x}{7} \geq x \).

Умножив обе части данного неравенства на число 14, равное наименьшему общему знаменателю дробей, стоящих в левой части неравенства, получаем:

\( \frac{x}{2} \cdot 14 + \frac{x}{7} \cdot 14 \geq 14x \)

\( 7x + 2x \geq 14x \)

\( 9x — 14x \geq 0 \)

\( -5x \geq 0 \) \(| :(-5)\)

\( x \leq 0 \).

Ответ: \( x \leq 0 \).

4) \( \frac{x}{3} — \frac{x}{2} \leq -\frac{1}{6} \).

Умножив обе части данного неравенства на число 6, равное наименьшему общему знаменателю дробей, стоящих в левой части неравенства, получаем:

\( \frac{x}{3} \cdot 6 — \frac{x}{2} \cdot 6 \leq -\frac{1}{6} \cdot 6 \)

\( 2x — 3x \leq -1 \)

\( -x \leq -1 \) \(| :(-1)\)

\( x \geq 1 \).

Ответ: \( x \geq 1 \).

1) Для решения неравенства \( \frac{5x}{6} — \frac{x}{4} > 7 \) необходимо привести все выражения к общему знаменателю, чтобы упростить работу с дробями. Наименьший общий знаменатель для 6 и 4 — это 12. Умножаем обе части неравенства на 12, чтобы избавиться от дробей. Получаем: \( \frac{5x}{6} \cdot 12 — \frac{x}{4} \cdot 12 > 7 \cdot 12 \). Теперь раскрываем скобки: \( 5x \cdot 2 — x \cdot 3 > 84 \), так как \( 12 : 6 = 2 \) и \( 12 : 4 = 3 \). После перемножения получаем: \( 10x — 3x > 84 \). Далее объединяем подобные члены: \( 7x > 84 \). Разделим обе части на 7, чтобы получить значение x: \( x > 12 \). Это означает, что решение неравенства — все значения x, которые больше 12.

2) Для неравенства \( \frac{x}{15} + \frac{x}{5} < -2 \) также приводим к общему знаменателю. Общий знаменатель для 15 и 5 — это 15. Умножаем обе части на 15: \( \frac{x}{15} \cdot 15 + \frac{x}{5} \cdot 15 < -2 \cdot 15 \). Получаем: \( x + 3x < -30 \), потому что \( 15 : 15 = 1 \) и \( 15 : 5 = 3 \). Складываем подобные члены: \( 4x < -30 \). Теперь делим обе части на 4: \( x < -7.5 \). То есть, решением данного неравенства являются все значения x, которые меньше -7.5.

3) В неравенстве \( \frac{x}{2} + \frac{x}{7} \geq x \) общий знаменатель для 2 и 7 — это 14. Умножаем обе части на 14: \( \frac{x}{2} \cdot 14 + \frac{x}{7} \cdot 14 \geq x \cdot 14 \). Получаем: \( 7x + 2x \geq 14x \), поскольку \( 14 : 2 = 7 \) и \( 14 : 7 = 2 \). Складываем: \( 9x \geq 14x \). Переносим все члены с x в одну сторону: \( 9x — 14x \geq 0 \), то есть \( -5x \geq 0 \). Делим обе части на -5, при этом знак неравенства меняется на противоположный: \( x \leq 0 \). Значит, решением будут все x, не превышающие 0.

4) В неравенстве \( \frac{x}{3} — \frac{x}{2} \leq -\frac{1}{6} \) общий знаменатель для 3 и 2 — это 6. Умножаем обе части на 6: \( \frac{x}{3} \cdot 6 — \frac{x}{2} \cdot 6 \leq -\frac{1}{6} \cdot 6 \). Получаем: \( 2x — 3x \leq -1 \), так как \( 6 : 3 = 2 \) и \( 6 : 2 = 3 \). Складываем: \( -x \leq -1 \). Делим обе части на -1 и меняем знак неравенства: \( x \geq 1 \). Решением будет множество всех x, больших или равных 1.