ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 5 Номер 18 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

1) \(3(2x — \frac{1}{3}) — 4(1 + 4x) ? 2(3 — x)\);
2) \((x — 4)(x + 6) ? (x + 1)(x — 7)\);
3) \((x — 3)(x — 3) > 2(x — 2)^2 — x(x + 1)\);
4) \(\frac{2x + 3}{2} + \frac{x — 1}{4} ? x\);
5) \(1 — \frac{4x + 5}{8} ? \frac{1 — 3x}{10}\);
6) \(\frac{6x + 1}{6} — \frac{5x + 4}{4} ? -\frac{1}{3}\).

1) \(3 \left( 2x — \frac{1}{3} \right) — 4(1 + 4x) \leq 2(3 — x)\)
\(6x — 1 — 4 — 16x \leq 6 — 2x\)
\(-10x — 5 \leq 6 — 2x\)
\(-10x + 2x \leq 6 + 5\)
\(-8x \leq 11 \quad | : (-8)\)
\(x \geq -\frac{11}{8}\)
\(x \geq -1 \frac{3}{8}\)
Ответ: \(x \geq -1 \frac{3}{8}\).

2) \((x — 4)(x + 6) \leq (x + 1)(x — 7)\)
\(x^2 + 6x — 4x — 24 \leq x^2 — 7x + x — 7\)
\(x^2 + 2x — 24 \leq x^2 — 6x — 7\)
\(x^2 + 2x — x^2 + 6x \leq -7 + 24\)
\(8x \leq 17 \quad | : 8\)
\(x \leq \frac{17}{8}\)
\(x \leq 2 \frac{1}{8}\)
Ответ: \(x \leq 2 \frac{1}{8}\).

3) \((x — 3)(x — 3) > 2(x — 2)^2 — x(x + 1)\)
\((x — 3)^2 > 2 \cdot (x^2 — 4x + 4) — x^2 — x\)
\(x^2 — 6x + 9 > 2x^2 — 8x + 8 — x^2 — x\)
\(x^2 — 6x + 9 > x^2 — 9x + 8\)
\(x^2 — 6x — x^2 + 9x > 8 — 9\)
\(3x > -1 \quad | : 3\)
\(x > -\frac{1}{3}\)
Ответ: \(x > -\frac{1}{3}\).

4) \(\frac{2x + 3}{2} + \frac{x — 1}{4} \geq x\)
Умножив обе части данного неравенства на число 4, равное наименьшему общему знаменателю дробей, стоящих в левой части неравенства, получаем:
\(\frac{2x + 3}{2} \cdot 4 + \frac{x — 1}{4} \cdot 4 \geq 4x\)
\(2(2x + 3) + (x — 1) \geq 4x\)
\(4x + 6 + x — 1 \geq 4x\)
\(5x + 5 \geq 4x\)
\(x \geq -5\)
Ответ: \(x \geq -5\).

5) \(1 — \frac{4x + 5}{8} \leq \frac{1 — 3x}{10}\)
Умножив обе части данного неравенства на число 40, равное наименьшему общему знаменателю дробей, стоящих в левой части неравенства, получаем:
\(1 \cdot 40 — \frac{4x + 5}{8} \cdot 40 \leq \frac{1 — 3x}{10} \cdot 40\)
\(40 — 5(4x + 5) \leq 4(1 — 3x)\)
\(40 — 20x — 25 \leq 4 — 12x\)
\(-20x + 15 \leq 4 — 12x\)
\(-20x + 12x \leq 4 — 15\)
\(-8x \leq -11 \quad | : (-8)\)
\(x \geq \frac{11}{8}\)
\(x \geq 1 \frac{3}{8}\)
Ответ: \(x \geq 1 \frac{3}{8}\).

6) \(\frac{6x + 1}{6} — \frac{5x + 4}{4} \geq -\frac{1}{3}\)
Умножив обе части данного неравенства на число 12, равное наименьшему общему знаменателю дробей, стоящих в левой части неравенства, получаем:
\(\frac{6x + 1}{6} \cdot 12 — \frac{5x + 4}{4} \cdot 12 \geq -\frac{1}{3} \cdot 12\)
\(2(6x + 1) — 3(5x + 4) \geq -4\)
\(12x + 2 — 15x — 12 \geq -4\)
\(-3x — 10 \geq -4\)
\(-3x \geq 6 \quad | : (-3)\)
\(x \leq -2\)
Ответ: \(x \leq -2\).

5) Решим неравенство \(1 — \frac{4x + 5}{8} \leq \frac{1 — 3x}{10}\). Для начала обратим внимание, что в обеих частях содержатся дроби с разными знаменателями — 8 и 10. Чтобы избавиться от дробей и упростить вычисления, нужно умножить обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей. Наименьшее общее кратное для 8 и 10 — это 40. Умножая обе части на 40, мы сохраняем знак неравенства, так как 40 — положительное число.

После умножения получаем выражение: \(1 \cdot 40 — \frac{4x + 5}{8} \cdot 40 \leq \frac{1 — 3x}{10} \cdot 40\), что упрощается до \(40 — 5(4x + 5) \leq 4(1 — 3x)\). Здесь мы использовали тот факт, что \(40 \div 8 = 5\) и \(40 \div 10 = 4\), поэтому коэффициенты перед скобками стали 5 и 4 соответственно. Далее раскрываем скобки: \(40 — 20x — 25 \leq 4 — 12x\).

После раскрытия скобок упрощаем левую часть: \(40 — 25 = 15\), получается \(15 — 20x \leq 4 — 12x\). Теперь переносим все члены с \(x\) в одну сторону, а свободные числа — в другую. Для этого прибавим \(20x\) к обеим частям и одновременно вычтем 4: \(15 — 20x + 20x — 4 \leq 4 — 12x + 20x — 4\), что упрощается до \(11 \leq 8x\).

Теперь, чтобы найти \(x\), делим обе части неравенства на 8 (положительное число, знак не меняется): \(\frac{11}{8} \leq x\), или \(x \geq \frac{11}{8}\). Переводим в смешанную дробь: \(x \geq 1 \frac{3}{8}\). Таким образом, решением данного неравенства является множество всех \(x\), больших либо равных \(1 \frac{3}{8}\).