ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 5 Номер 19 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Найдите наименьшее целое решение неравенства \((x — 3)(x + 2) < (x + 5) \cdot 2\).

\((x-3)(x+2) < (x+5)^2\)
\(x^2 + 2x — 3x — 6 < x^2 + 10x + 25\)
\(x^2 — x — 6 < x^2 + 10x + 25\)
\(x^2 — x — x^2 — 10x < 25 + 6\)
\(-11x < 31 \quad | : (-11)\)
\(x > \frac{31}{-11}\)
\(x > -2 \frac{9}{11}\)
\(x_{\text{наим.}} = -2\)
Ответ: \(-2\).

Рассмотрим неравенство \((x-3)(x+2) < (x+5)^2\). Сначала раскроем скобки в левой части. Произведение \((x-3)(x+2)\) раскрывается по формуле умножения двучлена на двучлен: \(x \cdot x = x^2\), \(x \cdot 2 = 2x\), \(-3 \cdot x = -3x\), и \(-3 \cdot 2 = -6\). Складывая эти слагаемые, получаем \(x^2 + 2x — 3x — 6\), что упрощается до \(x^2 — x — 6\).

Далее рассмотрим правую часть неравенства, где стоит квадрат двучлена \((x+5)^2\). Это выражение раскрывается по формуле квадрата суммы: \(x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25\). Теперь неравенство принимает вид \(x^2 — x — 6 < x^2 + 10x + 25\).

Для решения неравенства перенесём все члены в левую часть, чтобы сравнить с нулём: \(x^2 — x — 6 — x^2 — 10x — 25 < 0\). При этом \(x^2 — x^2 = 0\), и мы получаем \(-x — 10x — 6 — 25 < 0\), что упрощается до \(-11x — 31 < 0\). Добавим 31 к обеим частям, получаем \(-11x < 31\). Чтобы решить относительно \(x\), разделим обе части на \(-11\), при этом знак неравенства меняется на противоположный, так как делим на отрицательное число. Получаем \(x > \frac{31}{-11}\), что эквивалентно \(x > -2 \frac{9}{11}\).

Теперь нужно найти наименьшее целое число \(x\), удовлетворяющее неравенству. Поскольку \(x\) должно быть строго больше числа \(-2 \frac{9}{11}\), ближайшее целое число, которое больше этого значения, равно \(-2\). Таким образом, наименьшее целое решение неравенства — это \(x = -2\).