ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 5 Номер 22 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) уравнение \(5x^2 + 7x — 3a = 0\) имеет хотя бы один действительный корень?

\(5x^{2} + 7x — 3a = 0.\)
\(D = 7^{2} — 4 \cdot 5 \cdot (-3a) = 49 + 60a.\)
Квадратное уравнение имеет хотя бы один действительный корень, если его дискриминант больше или равен нуля:
\(49 + 60a \geq 0\)
\(60a \geq -49 \quad | : 60\)
\(a \geq -\frac{49}{60}.\)

Ответ: \(a \geq -\frac{49}{60}.\)

Рассмотрим квадратное уравнение \(5x^2 + 7x — 3a = 0\). Чтобы определить, при каких значениях параметра \(a\) уравнение имеет хотя бы один действительный корень, нужно проанализировать дискриминант этого уравнения. Дискриминант квадратичного уравнения вида \(ax^2 + bx + c = 0\) вычисляется по формуле \(D = b^2 — 4ac\). В нашем случае коэффициенты равны: \(a = 5\), \(b = 7\), \(c = -3a\). Подставим эти значения в формулу дискриминанта: \(D = 7^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-3a) = 49 + 60a\).

Для того чтобы уравнение имело хотя бы один действительный корень, дискриминант должен быть неотрицательным, то есть \(D \geq 0\). Это условие гарантирует, что квадратное уравнение имеет либо один (кратный) корень, либо два различных действительных корня. Запишем неравенство: \(49 + 60a \geq 0\). Переносим число 49 в правую часть и получаем: \(60a \geq -49\). Далее делим обе части неравенства на 60, учитывая, что 60 положительно, поэтому знак неравенства сохраняется: \(a \geq -\frac{49}{60}\).

Таким образом, мы получили условие на параметр \(a\), при котором уравнение \(5x^2 + 7x — 3a = 0\) имеет хотя бы один действительный корень. Если \(a\) будет меньше чем \(-\frac{49}{60}\), дискриминант станет отрицательным, и уравнение не будет иметь действительных корней. Если же \(a\) равен или больше \(-\frac{49}{60}\), то уравнение гарантированно имеет хотя бы один действительный корень. Ответ: \(a \geq -\frac{49}{60}\).