ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 5 Номер 23 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) квадратное уравнение \((a + 3)x^2 — (2a — 1)x + a = 0\) не имеет корней?

\((a + 3)x^2 — (2a — 1)x + a = 0.\)
Поскольку по условию данное уравнение является квадратным, то \((a + 3) \neq 0\), то есть \(a \neq -3.\)
\(D = (2a — 1)^2 — 4 \cdot (a + 3) \cdot a = 4a^2 — 4a + 1 — 4a^2 — 12a = -16a + 1.\)
Квадратное уравнение не имеет корней, если его дискриминант меньше нуля:
\(-16a + 1 < 0\)
\(-16a < -1 \quad | : (-16)\)
\(a > \frac{1}{16}.\)
Ответ: при \(a > \frac{1}{16}.\)

Рассмотрим уравнение \((a + 3)x^2 — (2a — 1)x + a = 0\). Для того чтобы оно было квадратным, коэффициент при \(x^2\) не должен равняться нулю. Это означает, что \(a + 3 \neq 0\), следовательно, \(a \neq -3\). Если бы \(a = -3\), уравнение перестало бы быть квадратным, и тогда анализ корней по дискриминанту был бы неприменим. Поэтому в дальнейшем мы рассматриваем только те значения \(a\), для которых уравнение действительно квадратное.

Далее для определения количества корней уравнения необходимо найти дискриминант \(D\). По формуле дискриминанта для квадратного уравнения \(Ax^2 + Bx + C = 0\) он равен \(D = B^2 — 4AC\). В нашем случае \(A = a + 3\), \(B = -(2a — 1)\), \(C = a\). Подставляя, получаем \(D = (2a — 1)^2 — 4 \cdot (a + 3) \cdot a\). Раскрываем скобки: \(D = 4a^2 — 4a + 1 — 4a^2 — 12a\). Упрощая, сокращаем \(4a^2\) и получаем \(D = -16a + 1\).

Чтобы уравнение не имело корней, дискриминант должен быть меньше нуля, то есть \(D < 0\). Подставляем выражение для дискриминанта: \(-16a + 1 < 0\). Переносим \(1\) вправо: \(-16a < -1\). Делим обе части неравенства на \(-16\), при этом знак неравенства меняется на противоположный, так как делим на отрицательное число. Получаем \(a > \frac{1}{16}\). Таким образом, при всех \(a\), больших \(\frac{1}{16}\), уравнение не имеет корней. При этом не забываем, что \(a \neq -3\), но это ограничение не влияет на область решения, так как \(-3 < \frac{1}{16}\). Итог: уравнение не имеет корней при \(a > \frac{1}{16}\).