ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 5 Номер 24 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) квадратное уравнение \((a — 1)x^2 — 2(a + 1)x + a = 0\) имеет два различных корня?

\((a — 1)x^2 — 2(a + 1)x + a = 0.\)
Поскольку по условию данное уравнение является квадратным, то \((a — 1) \neq 0\), то есть \(a \neq 1.\)
\(D = (2(a + 1))^2 — 4 \cdot (a — 1) \cdot a = (2a + 2)^2 — 4a^2 + 4a = 4a^2 + 8a + 4 — 4a^2 + 4a = 12a + 4.\)
Квадратное уравнение имеет два различных корня, если его дискриминант больше нуля:
\(12a + 4 > 0\)
\(12a > -4 \quad | : 12\)
\(a > -\frac{4}{12}\)
\(a > -\frac{1}{3},\) кроме \(a = 1.\)
Ответ: при \(a > -\frac{1}{3},\) кроме \(a = 1.\)

Рассмотрим квадратное уравнение \((a — 1)x^2 — 2(a + 1)x + a = 0.\) Для того чтобы это уравнение действительно было квадратным, коэффициент при \(x^2\) не должен равняться нулю. Следовательно, необходимо, чтобы \(a — 1 \neq 0\), то есть \(a \neq 1.\) Если \(a = 1\), уравнение перестанет быть квадратным, и условие задачи не будет выполнено.

Далее, чтобы уравнение имело два различных корня, необходимо, чтобы его дискриминант был строго больше нуля. Дискриминант квадратного уравнения \(Ax^2 + Bx + C = 0\) вычисляется по формуле \(D = B^2 — 4AC.\) В нашем уравнении коэффициенты равны: \(A = a — 1\), \(B = -2(a + 1)\), \(C = a.\) Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

\(D = (-2(a + 1))^2 — 4 \cdot (a — 1) \cdot a = (2(a + 1))^2 — 4a(a — 1) = (2a + 2)^2 — 4a^2 + 4a.\)

Раскроем скобки и упростим выражение:

\((2a + 2)^2 = 4a^2 + 8a + 4,\)
поэтому
\(D = 4a^2 + 8a + 4 — 4a^2 + 4a = 12a + 4.\)

Для того чтобы уравнение имело два различных корня, \(D > 0\), значит:

\(12a + 4 > 0.\)
Вычтем 4 с обеих сторон:

\(12a > -4.\)
Разделим обе части неравенства на 12:

\(a > -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3}.\)

Таким образом, для того чтобы уравнение было квадратным и имело два различных корня, должно выполняться два условия одновременно: \(a \neq 1\) (чтобы уравнение было квадратным) и \(a > -\frac{1}{3}\) (чтобы дискриминант был положительным). Итоговый ответ: уравнение имеет два различных корня при \(a > -\frac{1}{3}\), кроме значения \(a = 1\).