ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 5 Номер 25 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Для каждого значения \(a\) решите неравенство \((a — 6)x > 1\).

\((a — 6)x > 1.\)
Рассмотрим три случая.
I. \(a — 6 > 0\), то есть \(a > 6.\)
Разделив обе части данного неравенства на \((a — 6)\), с учетом того, что \((a — 6) > 0\), получаем:
\(x > \frac{1}{a — 6}.\)
II. \(a — 6 = 0\), то есть \(a = 6.\)
Данное неравенство принимает вид:
\((6 — 6)x > 1 \Rightarrow 0 > 1\) – не имеет решений.
III. \(a — 6 < 0\), то есть \(a < 6.\)
Разделив обе части данного неравенства на \((a — 6)\), с учетом того, что \((a — 6) < 0\), получаем:
\(x < \frac{1}{a — 6}.\)
Ответ: если \(a > 6\), то \(x > \frac{1}{a — 6};\)
если \(a = 6\), то решений нет;
если \(a < 6\), то \(x < \frac{1}{a — 6}.\)

Рассмотрим неравенство \((a — 6)x > 1\), где \(a\) — параметр, а \(x\) — переменная. Чтобы найти множество решений этого неравенства в зависимости от значения параметра \(a\), необходимо учитывать знак выражения \(a — 6\), так как при делении на отрицательное число знак неравенства меняется. Для этого мы разбиваем задачу на три отдельных случая.

Первый случай: если \(a — 6 > 0\), то есть \(a > 6\). Здесь выражение \(a — 6\) положительно, и мы можем разделить обе части неравенства на \(a — 6\), не меняя знак неравенства. Получаем \(x > \frac{1}{a — 6}\). Это означает, что при значениях параметра \(a\), больших 6, множество решений — все значения \(x\), которые больше дроби \(\frac{1}{a — 6}\). Чем больше значение \(a\), тем меньше значение \(\frac{1}{a — 6}\), так как знаменатель растет, и, следовательно, решение смещается влево по числовой оси.

Второй случай: если \(a — 6 = 0\), то есть \(a = 6\). Тогда исходное неравенство принимает вид \(0 \cdot x > 1\), что эквивалентно \(0 > 1\). Это неверное утверждение, и значит, при \(a = 6\) решений не существует. Множество решений в этом случае пусто, обозначается как \(\emptyset\).

Третий случай: если \(a — 6 < 0\), то есть \(a < 6\). Здесь выражение \(a — 6\) отрицательно, поэтому при делении обеих частей неравенства на \(a — 6\) знак неравенства меняется на противоположный. Получаем \(x < \frac{1}{a — 6}\). Это значит, что при значениях параметра \(a\), меньших 6, решения — все значения \(x\), меньшие дроби \(\frac{1}{a — 6}\). Поскольку знаменатель отрицателен, дробь \(\frac{1}{a — 6}\) также отрицательна, и при приближении \(a\) к 6 слева значение этой дроби стремится к минус бесконечности.

Таким образом, итоговые решения неравенства зависят от параметра \(a\) следующим образом: если \(a > 6\), то \(x > \frac{1}{a — 6}\); если \(a = 6\), решений нет (\(\emptyset\)); если \(a < 6\), то \(x < \frac{1}{a — 6}\). Такой подход с разбиением на случаи позволяет корректно учитывать влияние параметра на знак коэффициента при \(x\) и правильно определить множество решений неравенства.