ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 5 Номер 26 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Для каждого значения \(a\) решите неравенство \((a + 4)x < 1\).

№ 26.
\((a + 4)x < 1.\)
Рассмотрим три случая.
I. \(a + 4 > 0\), то есть \(a > -4.\)
Разделив обе части данного неравенства на \((a + 4)\), с учетом того, что \((a + 4) > 0\), получаем:
\(x < \frac{1}{a + 4}.\)
II. \(a + 4 = 0\), то есть \(a = -4.\)
Данное неравенство принимает вид:
\((-4 + 4)x < 1\), то есть \(0 < 1\), что верно при любом \(x\).
III. \(a + 4 < 0\), то есть \(a < -4.\)
Разделив обе части данного неравенства на \((a + 4)\), с учетом того, что \((a + 4) < 0\), получаем:
\(x > \frac{1}{a + 4}.\)
Ответ: если \(a > -4\), то \(x < \frac{1}{a + 4}\);
если \(a = -4\), то \(x\) – любое число;
если \(a < -4\), то \(x > \frac{1}{a + 4}.\)

Рассмотрим неравенство \((a + 4)x < 1\), где \(a\) — параметр, а \(x\) — переменная. Чтобы решить это неравенство для всех значений \(a\), необходимо учесть знак множителя \((a + 4)\), так как при делении или умножении на отрицательное число знак неравенства меняется. Поэтому разберём три случая, в зависимости от того, положительно, равно нулю или отрицательно выражение \(a + 4\).

Первый случай — когда \(a + 4 > 0\), то есть \(a > -4\). В этом случае множитель положителен, и мы можем безопасно разделить обе части неравенства на \((a + 4)\), не меняя знак неравенства. Получаем \(x < \frac{1}{a + 4}\). Это означает, что для всех \(a\), больших чем \(-4\), множество решений — все \(x\), меньшие чем \(\frac{1}{a + 4}\). Например, если \(a = 0\), то \(x < \frac{1}{4}\). Чем больше значение \(a\), тем меньше правая часть, так как знаменатель растёт.

Второй случай — когда \(a + 4 = 0\), то есть \(a = -4\). Подставляя это значение, получаем \((0) \cdot x < 1\), что равносильно \(0 < 1\), а это всегда верно для любого \(x\). Следовательно, при \(a = -4\) неравенство выполняется при любом значении \(x\), то есть множество решений — вся числовая ось.

Третий случай — когда \(a + 4 < 0\), то есть \(a < -4\). Здесь множитель отрицателен, и при делении на \((a + 4)\) знак неравенства меняется на противоположный. Разделив обе части неравенства на отрицательное число, получаем \(x > \frac{1}{a + 4}\). Это значит, что для всех \(a\), меньших чем \(-4\), решения — все \(x\), большие чем \(\frac{1}{a + 4}\). Например, если \(a = -5\), то \(x > \frac{1}{-1} = -1\). Чем меньше \(a\), тем больше по абсолютной величине отрицательное значение знаменателя, и тем ближе к нулю будет правая часть.

Итог: при \(a > -4\) решение — \(x < \frac{1}{a + 4}\); при \(a = -4\) любое \(x\); при \(a < -4\) решение — \(x > \frac{1}{a + 4}\). Такое разделение на случаи связано с особенностями деления неравенств на отрицательные и положительные числа и позволяет полностью описать множество решений в зависимости от параметра \(a\).