ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 5 Номер 27 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Решите уравнение:
1) \(|x — 2| + 2x = 7\);
2) \(|3x + 15| — 5x = 1\).

1) Уравнение \(|x — 2| + 2x = 7\) решаем, разбивая на два случая в зависимости от знака выражения под модулем.
Первый случай: \(x \geq 2\). Тогда \(|x — 2| = x — 2\), так как выражение неотрицательно. Подставляем в уравнение:
\(x — 2 + 2x = 7\)
Складываем:
\(3x — 2 = 7\)
Переносим \(-2\) вправо:
\(3x = 7 + 2\)
\(3x = 9\)
Делим на 3:
\(x = 3\).
Проверяем условие: \(3 \geq 2\) — верно, значит \(x = 3\) — решение.

Второй случай: \(x < 2\). Тогда \(|x — 2| = -(x — 2) = 2 — x\), так как выражение отрицательно. Подставляем:
\(2 — x + 2x = 7\)
Упрощаем:
\(2 + x = 7\)
Вычитаем 2:
\(x = 7 — 2\)
\(x = 5\).
Проверяем условие: \(5 < 2\) — неверно, значит это решение отбрасываем.

Ответ: \(x = 3\).

2) Рассмотрим уравнение \(|3x + 15| — 5x = 1\). Для решения тоже разбиваем на два случая по знаку выражения под модулем.
Первый случай: \(3x + 15 \geq 0\), то есть \(3x \geq -15\), следовательно, \(x \geq -5\). Тогда \(|3x + 15| = 3x + 15\). Подставляем:
\(3x + 15 — 5x = 1\)
Упрощаем:
\(-2x + 15 = 1\)
Переносим 15:
\(-2x = 1 — 15\)
\(-2x = -14\)
Делим на \(-2\):
\(x = 7\).
Проверяем условие: \(7 \geq -5\) — верно, значит \(x = 7\) — решение.

Второй случай: \(x < -5\). Тогда \(|3x + 15| = -(3x + 15) = -3x — 15\). Подставляем:
\(-3x — 15 — 5x = 1\)
Упрощаем:
\(-8x — 15 = 1\)
Переносим \(-15\):
\(-8x = 1 + 15\)
\(-8x = 16\)
Делим на \(-8\):
\(x = -2\).
Проверяем условие: \(-2 < -5\) — неверно, значит это решение отбрасываем.

Ответ: \(x = 7\).

1) Уравнение \(|x — 2| + 2x = 7\) содержит модуль, что требует рассмотреть два возможных случая, поскольку выражение под модулем может быть как положительным, так и отрицательным. Первый случай возникает, когда \(x — 2 \geq 0\), то есть \(x \geq 2\). В этом случае модуль раскрывается как \(|x — 2| = x — 2\), так как выражение внутри модуля неотрицательно и его значение равно самому себе. Подставляя это в уравнение, получаем \(x — 2 + 2x = 7\). Сложив подобные члены, имеем \(3x — 2 = 7\). Далее переносим \(-2\) вправо, получая \(3x = 7 + 2\), то есть \(3x = 9\). Делим обе части на 3 и находим \(x = 3\). Поскольку \(x = 3\) удовлетворяет условию \(x \geq 2\), это решение является допустимым.

Во втором случае рассматриваем ситуацию, когда \(x — 2 < 0\), то есть \(x < 2\). Здесь выражение под модулем отрицательно, поэтому \(|x — 2| = -(x — 2) = 2 — x\). Подставляя это в исходное уравнение, получаем \(2 — x + 2x = 7\). Сложив переменные, получаем \(2 + x = 7\). Вычитаем 2 из обеих частей: \(x = 7 — 2\), то есть \(x = 5\). Однако это значение не удовлетворяет условию \(x < 2\), так как 5 не меньше 2. Следовательно, это решение отбрасываем как недопустимое.

Таким образом, единственным решением уравнения является \(x = 3\), которое соответствует первому случаю. Важно отметить, что при работе с модулями всегда необходимо проверять полученные решения на соответствие условиям раскрытия модуля, чтобы избежать включения недопустимых корней.

2) Рассмотрим уравнение \(|3x + 15| — 5x = 1\), которое также содержит модуль, что требует разделить решение на два случая в зависимости от знака выражения под модулем. Первый случай — когда \(3x + 15 \geq 0\). Решим неравенство: \(3x \geq -15\) или \(x \geq -5\). При этом условии \(|3x + 15| = 3x + 15\), так как выражение неотрицательно. Подставляем в уравнение: \(3x + 15 — 5x = 1\). Сложим подобные члены: \(-2x + 15 = 1\). Переносим 15 вправо: \(-2x = 1 — 15\), то есть \(-2x = -14\). Делим обе части на \(-2\), получая \(x = 7\). Проверяем, удовлетворяет ли это значение условию \(x \geq -5\), и видим, что да, \(7 \geq -5\), значит корень допустим.

Во втором случае рассматриваем \(3x + 15 < 0\), что эквивалентно \(x < -5\). В этом случае \(|3x + 15| = -(3x + 15) = -3x — 15\). Подставляем в уравнение: \(-3x — 15 — 5x = 1\). Объединяем переменные: \(-8x — 15 = 1\). Переносим \(-15\) вправо: \(-8x = 1 + 15\), то есть \(-8x = 16\). Делим обе части на \(-8\), получаем \(x = -2\). Проверяем условие \(x < -5\), но \(x = -2\) не удовлетворяет этому условию, значит это решение отбрасываем.

Итогом является единственное решение \(x = 7\), которое соответствует первому случаю и удовлетворяет исходному уравнению. Как и в первом задании, важно проверять допустимость корней, чтобы избежать ошибок при работе с модулями.