ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 5 Номер 28 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Постройте график функции:
1) \( y = |x — 3| \);
2) \( y = |x + 2| — 3 \);
3) \( y = |2x + 2| — 2x \).

1) \( y = |x — 3| \).
При \( x \geq 3 \) имеем: \( y = x — 3 \).
При \( x < 3 \) имеем: \( y = -(x — 3) = 3 — x \).
Следовательно,
\( y = \begin{cases}
x — 3, & \text{если } x \geq 3 \\
3 — x, & \text{если } x < 3
\end{cases} \)

2) \( y = |x + 2| — 3 \).
При \( x \geq -2 \) имеем: \( y = x + 2 — 3 = x — 1 \).
При \( x < -2 \) имеем: \( y = -(x + 2) — 3 = -x — 2 — 3 = -x — 5 \).
Следовательно,
\( y = \begin{cases}
x — 1, & \text{если } x \geq -2 \\
-x — 5, & \text{если } x < -2
\end{cases} \)

3) \( y = |2x + 2| — 2x \).
При \( x \geq -1 \) имеем: \( y = 2x + 2 — 2x = 2 \).
При \( x < -1 \) имеем:
\( y = -(2x + 2) — 2x = -2x — 2 — 2x = -4x — 2 \).
Следовательно,
\( y = \begin{cases}
2, & \text{если } x \geq -1 \\
-4x — 2, & \text{если } x < -1
\end{cases} \)

1) Рассмотрим функцию \( y = |x — 3| \). Модуль числа по определению равен самому числу, если оно неотрицательное, и противоположному числу, если оно отрицательное. В данном случае выражение внутри модуля — это \( x — 3 \). Чтобы понять, как построить график, нужно разделить область определения на две части в зависимости от знака выражения \( x — 3 \). Если \( x \geq 3 \), то \( x — 3 \geq 0 \), и модуль раскрывается как \( y = x — 3 \). Это линейная функция с угловым коэффициентом 1 и сдвигом вниз на 3 единицы. Если же \( x < 3 \), то \( x — 3 < 0 \), и модуль раскрывается как \( y = -(x — 3) = 3 — x \). Эта часть графика представляет собой линейную функцию с угловым коэффициентом -1 и сдвигом вверх на 3 единицы. Таким образом, график функции состоит из двух лучей, которые соединяются в точке \( x = 3 \).

2) Для функции \( y = |x + 2| — 3 \) также нужно рассмотреть знак выражения внутри модуля, то есть \( x + 2 \). При \( x \geq -2 \) выражение \( x + 2 \geq 0 \), и модуль раскрывается как \( y = (x + 2) — 3 = x — 1 \). Эта часть графика — прямая с угловым коэффициентом 1 и сдвигом вниз на 1. При \( x < -2 \) выражение \( x + 2 < 0 \), и модуль раскрывается как \( y = -(x + 2) — 3 = -x — 2 — 3 = -x — 5 \). Здесь график — прямая с угловым коэффициентом -1 и сдвигом вниз на 5. Перелом графика происходит в точке \( x = -2 \), где значения обеих частей совпадают, что обеспечивает непрерывность функции. Таким образом, график функции представляет собой «V»-образную фигуру, смещённую относительно осей координат.

3) В случае функции \( y = |2x + 2| — 2x \) нужно сначала определить знак выражения внутри модуля \( 2x + 2 \). При \( x \geq -1 \) выражение \( 2x + 2 \geq 0 \), следовательно, модуль раскрывается как \( y = (2x + 2) — 2x = 2 \). Это постоянная функция, график которой — горизонтальная прямая на уровне \( y = 2 \). При \( x < -1 \) выражение \( 2x + 2 < 0 \), и модуль раскрывается как \( y = -(2x + 2) — 2x = -2x — 2 — 2x = -4x — 2 \). Здесь график — прямая с угловым коэффициентом -4 и сдвигом вниз на 2. Таким образом, график функции состоит из горизонтальной линии справа от точки \( x = -1 \) и наклонной линии слева, которые соединяются в точке \( x = -1 \), где функция непрерывна. Это пример функции с разрывом производной в точке перехода.