ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 6 Номер 13 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Решите систему неравенств:
1) {-5 + 5x < 0; 4 - 3x < 31}; 2) {-18 + 6x < 0; 2 - 3x < -10}; 3) {0,3x + 1 < 2,5; 0,5x - 1 > 0,5}; 4) {3x — 3 < 7x + 5; 3 - 4x < 2x + 9}; 5) {3y - 7 ? 3 - 2y; y - 2 ? 4y - 1}; 5) {4x - 9 ? 10x + 12; 5x + 2 ? 7x - 4}.

1)
\(\begin{cases} -5 + 5x < 0 \\ 4 - 3x < 31 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 5x < 5 \\ -3x < 31 - 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 1 \\ -3x < 27 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 1 \\ x > -9 \end{cases} \Rightarrow (-9; 1)\).
Ответ: \((-9; 1)\).

2)
\(\begin{cases} -18 + 6x < 0 \\ 2 - 3x < -10 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 6x < 18 \\ -3x < -10 - 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 3 \\ -3x < -12 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 3 \\ x > 4 \end{cases} \Rightarrow \emptyset\).
Ответ: решений нет.

3)
\(\begin{cases} 0,3x + 1 < 2,5 \\ 0,5x - 1 > 0,5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 0,3x < 2,5 - 1 \\ 0,5x > 0,5 + 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 0,3x < 1,5 \\ 0,5x > 1,5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 5 \\ x > 3 \end{cases}\)
\( \Rightarrow (3; 5)\).
Ответ: \((3; 5)\).

4)
\(\begin{cases} 3x — 3 < 7x + 5 \\ 3 - 4x < 2x + 9 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x - 7x < 5 + 3 \\ -4x - 2x < 9 - 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -4x < 8 \\ -6x < 6 \end{cases}\) \( \Rightarrow \begin{cases} x > -2 \\ x > -1 \end{cases} \Rightarrow (-1; +\infty)\).
Ответ: \((-1; +\infty)\).

5)
\(\begin{cases} 3y — 7 \geq 3 — 2y \\ y — 2 \leq 4y — 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3y + 2y \geq 3 + 7 \\ y — 4y \leq -1 + 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 5y \geq 10 \\ -3y \leq 1 \end{cases}\)
\( \Rightarrow \begin{cases} y \geq 2 \\ y \geq -\frac{1}{3} \end{cases} \Rightarrow [2; +\infty)\).
Ответ: \([2; +\infty)\).

6)
\(\begin{cases} 4x + 29 \leq 10x + 12 \\ 5x + 42 \geq 7x — 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 4x — 10x \leq 12 + 9 \\ 5x — 7x \geq -4 — 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -6x \leq 21 \\ -2x \geq -6 \end{cases}\)
\( \Rightarrow \begin{cases} x \geq -3,5 \\ x \leq 3 \end{cases} \Rightarrow [-3,5; 3]\).
Ответ: \([-3,5; 3]\).

1)
\(\begin{cases} -5 + 5x < 0 \\ 4 - 3x < 31 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 5x < 5 \\ -3x < 31 - 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 1 \\ -3x < 27 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 1 \\ x > -9 \end{cases} \Rightarrow (-9; 1)\).
Ответ: \((-9; 1)\).

2)
\(\begin{cases} -18 + 6x < 0 \\ 2 - 3x < -10 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 6x < 18 \\ -3x < -10 - 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 3 \\ -3x < -12 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 3 \\ x > 4 \end{cases} \Rightarrow \emptyset\).
Ответ: решений нет.

3)
\(\begin{cases} 0,3x + 1 < 2,5 \\ 0,5x - 1 > 0,5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 0,3x < 2,5 - 1 \\ 0,5x > 0,5 + 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 0,3x < 1,5 \\ 0,5x > 1,5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 5 \\ x > 3 \end{cases}\)
\( \Rightarrow (3; 5)\).
Ответ: \((3; 5)\).

4)
\(\begin{cases} 3x — 3 < 7x + 5 \\ 3 - 4x < 2x + 9 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x - 7x < 5 + 3 \\ -4x - 2x < 9 - 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -4x < 8 \\ -6x < 6 \end{cases}\) \( \Rightarrow \begin{cases} x > -2 \\ x > -1 \end{cases} \Rightarrow (-1; +\infty)\).
Ответ: \((-1; +\infty)\).

5)
\(\begin{cases} 3y — 7 \geq 3 — 2y \\ y — 2 \leq 4y — 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3y + 2y \geq 3 + 7 \\ y — 4y \leq -1 + 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 5y \geq 10 \\ -3y \leq 1 \end{cases}\)
\( \Rightarrow \begin{cases} y \geq 2 \\ y \geq -\frac{1}{3} \end{cases} \Rightarrow [2; +\infty)\).
Ответ: \([2; +\infty)\).

6)
\(\begin{cases} 4x + 29 \leq 10x + 12 \\ 5x + 42 \geq 7x — 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 4x — 10x \leq 12 + 9 \\ 5x — 7x \geq -4 — 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -6x \leq 21 \\ -2x \geq -6 \end{cases}\)
\( \Rightarrow \begin{cases} x \geq -3,5 \\ x \leq 3 \end{cases} \Rightarrow [-3,5; 3]\).
Ответ: \([-3,5; 3]\).

Первое неравенство \( -5 + 5x < 0 \) можно преобразовать, добавив 5 к обеим частям: \( 5x < 5 \). Далее, делим обе части на 5 (положительное число, знак неравенства сохраняется): \( x < 1 \). Это означает, что все значения \( x \), меньшие 1, подходят под первое условие. Второе неравенство \( 4 - 3x < 31 \) преобразуем, вычтя 4 из обеих частей: \( -3x < 27 \). Далее делим обе части на -3, при этом знак неравенства меняется на противоположный, так как деление происходит на отрицательное число: \( x > -9 \). Это значит, что все значения \( x \), больше -9, удовлетворяют второму неравенству.

Объединяя оба условия, получаем: \( x < 1 \) и \( x > -9 \). Пересечение этих множеств — интервал \( (-9; 1) \). Таким образом, решение системы — все числа, лежащие строго между -9 и 1.

Рассмотрим систему:
\(\begin{cases} -18 + 6x < 0 \\ 2 - 3x < -10 \end{cases}\). Первое неравенство: \( -18 + 6x < 0 \). Добавим 18 к обеим частям: \( 6x < 18 \). Делим на 6 (положительное число), получаем: \( x < 3 \). Это значит, что \( x \) должен быть меньше 3. Второе неравенство: \( 2 - 3x < -10 \). Вычитаем 2 из обеих частей: \( -3x < -12 \). Делим на -3 (отрицательное число), меняем знак неравенства: \( x > 4 \). Значит, \( x \) должен быть больше 4.

Объединение условий требует, чтобы \( x < 3 \) и одновременно \( x > 4 \). Нет чисел, которые одновременно меньше 3 и больше 4, поэтому множество решений пусто: \( \emptyset \).

Рассмотрим систему:
\(\begin{cases} 0,3x + 1 < 2,5 \\ 0,5x - 1 > 0,5 \end{cases}\).

Первое неравенство: \( 0,3x + 1 < 2,5 \). Вычтем 1 из обеих частей: \( 0,3x < 1,5 \). Делим на 0,3 (положительное число), получаем: \( x < 5 \). Второе неравенство: \( 0,5x - 1 > 0,5 \). Добавим 1 к обеим частям: \( 0,5x > 1,5 \). Делим на 0,5 (положительное число), получаем: \( x > 3 \).

Объединяя условия, \( x \) должен быть одновременно меньше 5 и больше 3. Пересечение — интервал \( (3; 5) \). Это множество всех чисел, строго между 3 и 5.

Рассмотрим систему:
\(\begin{cases} 3x — 3 < 7x + 5 \\ 3 - 4x < 2x + 9 \end{cases}\). В первом неравенстве: \( 3x - 3 < 7x + 5 \). Переносим все члены с \( x \) влево, а числа вправо: \( 3x - 7x < 5 + 3 \), что даёт \( -4x < 8 \). Делим на -4 (отрицательное число), меняем знак неравенства: \( x > -2 \).

Во втором неравенстве: \( 3 — 4x < 2x + 9 \). Переносим члены с \( x \) влево, числа вправо: \( 3 - 4x - 2x < 9 \), то есть \( 3 - 6x < 9 \). Вычитаем 3 из обеих частей: \( -6x < 6 \). Делим на -6 (отрицательное число), меняем знак неравенства: \( x > -1 \).

Объединяем условия: \( x > -2 \) и \( x > -1 \). Пересечение — более строгое условие \( x > -1 \), то есть интервал \( (-1; +\infty) \).

Рассмотрим систему:
\(\begin{cases} 3y — 7 \geq 3 — 2y \\ y — 2 \leq 4y — 1 \end{cases}\).

Первое неравенство: \( 3y — 7 \geq 3 — 2y \). Переносим все члены с \( y \) влево, числа вправо: \( 3y + 2y \geq 3 + 7 \), что даёт \( 5y \geq 10 \). Делим на 5 (положительное число), получаем: \( y \geq 2 \).

Во втором неравенстве: \( y — 2 \leq 4y — 1 \). Переносим все члены с \( y \) влево, числа вправо: \( y — 4y \leq -1 + 2 \), то есть \( -3y \leq 1 \). Делим на -3 (отрицательное число), меняем знак неравенства: \( y \geq -\frac{1}{3} \).

Объединяем условия: \( y \geq 2 \) и \( y \geq -\frac{1}{3} \). Пересечение — более строгое условие \( y \geq 2 \), то есть интервал \( [2; +\infty) \).

Рассмотрим систему:
\(\begin{cases} 4x + 29 \leq 10x + 12 \\ 5x + 42 \geq 7x — 4 \end{cases}\).

Первое неравенство: \( 4x + 29 \leq 10x + 12 \). Переносим члены с \( x \) влево, числа вправо: \( 4x — 10x \leq 12 — 29 \), то есть \( -6x \leq -17 \). Делим на -6 (отрицательное число), меняем знак неравенства: \( x \geq \frac{17}{6} \approx 2,8333 \).

Во втором неравенстве: \( 5x + 42 \geq 7x — 4 \). Переносим члены с \( x \) влево, числа вправо: \( 5x — 7x \geq -4 — 42 \), то есть \( -2x \geq -46 \). Делим на -2 (отрицательное число), меняем знак неравенства: \( x \leq 23 \).

Объединяем условия: \( x \geq \frac{17}{6} \) и \( x \leq 23 \). Пересечение — интервал \( \left[\frac{17}{6}; 23 \right] \), или приблизительно \( [2,8333; 23] \).