ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 6 Номер 20 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Найдите наименьшее целое решение системы неравенств {2x — (x-2)/5 > 4; x/2 — x/8 ? 9}.

\(\begin{cases} 2x — \frac{x-2}{5} > 4 \quad | \cdot 5 \\ \frac{x}{2} — \frac{x}{8} \leq 9 \quad | \cdot 8 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 10x — (x-2) > 20 \\ 4x — x \leq 72 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 10x — x + 2 > 20 \\ 3x \leq 72 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 9x > 18 \\ x \leq 24 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 2 \\ x \leq 24 \end{cases} \Rightarrow (2; 24].\)

Наименьшее целое решение данной системы неравенств равно 3.

Ответ: 3.

\(\begin{cases} 2x — \frac{x-2}{5} > 4 \quad | \cdot 5 \\ \frac{x}{2} — \frac{x}{8} \leq 9 \quad | \cdot 8 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 10x — (x-2) > 20 \\ 4x — x \leq 72 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 10x — x + 2 > 20 \\ 3x \leq 72 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 9x > 18 \\ x \leq 24 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 2 \\ x \leq 24 \end{cases} \Rightarrow (2; 24).\)

Наименьшее целое решение данной системы неравенств равно 3.

Ответ: 3.
Рассмотрим решение системы неравенств более подробно:

1. Первое неравенство: \(2x — \frac{x-2}{5} > 4\). Умножим обе части на 5, чтобы избавиться от знаменателя:
\(
5 \cdot \left(2x — \frac{x-2}{5}\right) > 5 \cdot 4.
\)
Получаем:
\(
10x — (x-2) > 20.
\)
Раскрываем скобки:
\(
10x — x + 2 > 20.
\)
Упрощаем:
\(
9x + 2 > 20.
\)
Вычитаем 2 из обеих частей:
\(
9x > 18.
\)
Делим обе части на 9:
\(
x > 2.
\)

2. Второе неравенство: \(\frac{x}{2} — \frac{x}{8} \leq 9\). Умножим обе части на 8, чтобы избавиться от знаменателя:
\(
8 \cdot \left(\frac{x}{2} — \frac{x}{8}\right) \leq 8 \cdot 9.
\)
Получаем:
\(
4x — x \leq 72.
\)
Упрощаем:
\(
3x \leq 72.
\)
Делим обе части на 3:
\(
x \leq 24.
\)

3. Теперь объединим результаты двух неравенств:
\(
x > 2 \quad \text{и} \quad x \leq 24.
\)
Общее решение:
\(
x \in (2; 24).
\)

Наименьшее целое значение, удовлетворяющее данной системе, равно 3.