ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 6 Номер 27 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

1) \((x+6)(x-7)<0\).
Произведение двух чисел меньше нуля, если они имеют разные знаки.

Тогда получаем две системы неравенств:
\((x+6>0 \, \text{и} \, x-7<0)\) или \((x+6<0 \, \text{и} \, x-7>0)\)
\((x>-6 \, \text{и} \, x<7)\) или \((x<-6 \, \text{и} \, x>7)\)
\(-6<x<7\) или \(\emptyset\).

Ответ: \((-6; 7)\).

2) \((2x-3)(3x+12)\geq0\).
Произведение двух чисел больше или равно нулю, если они имеют одинаковые знаки или хотя бы один из них равен нулю.

Тогда получаем две системы неравенств:
\((2x-3\geq0 \, \text{и} \, 3x+12\geq0)\) или \((2x-3\leq0 \, \text{и} \, 3x+12\leq0)\)
\((2x\geq3 \, \text{и} \, 3x\geq-12)\) или \((2x\leq3 \, \text{и} \, 3x\leq-12)\)
\((x\geq\frac{3}{2} \, \text{и} \, x\geq-4)\) или \((x\leq\frac{3}{2} \, \text{и} \, x\leq-4)\)
\(x\geq\frac{3}{2}\) или \(x\leq-4\).

Ответ: \((- \infty; -4] \, \text{и} \, [1,5; +\infty)\).

3) \(\frac{3x+1}{x-7}\geq0\).
Частное двух чисел больше или равно нулю, если делимое является неотрицательным числом, а делитель — положительным, или если делимое является неположительным числом, а делитель — отрицательным.

Тогда получаем две системы неравенств:
\((3x+1\geq0 \, \text{и} \, x-7>0)\) или \((3x+1\leq0 \, \text{и} \, x-7<0)\)
\((3x\geq-1 \, \text{и} \, x>7)\) или \((3x\leq-1 \, \text{и} \, x<7)\)
\(x\geq-\frac{1}{3} \, \text{и} \, x>7\) или \(x\leq-\frac{1}{3} \, \text{и} \, x<7\)
\(x>7\) или \(x\leq-\frac{1}{3}\).

Ответ: \((- \infty; -\frac{1}{3}] \, \text{и} \, (7; +\infty)\).

4) \(\frac{6x-5}{4x+10}\leq0\).
Частное двух чисел меньше или равно нулю, если делимое является неотрицательным числом, а делитель — отрицательным, или если делимое является неположительным числом, а делитель — положительным.

Тогда получаем две системы неравенств:
\((6x-5\geq0 \, \text{и} \, 4x+10<0)\) или \((6x-5\leq0 \, \text{и} \, 4x+10>0)\)
\((6x\geq5 \, \text{и} \, 4x<-10)\) или \((6x\leq5 \, \text{и} \, 4x>-10)\)
\(x\geq\frac{5}{6} \, \text{и} \, x<-\frac{5}{2}\) или \(x\leq\frac{5}{6} \, \text{и} \, x>-\frac{5}{2}\).

Решений нет или \(-\frac{5}{2}<x\leq\frac{5}{6}\).

Ответ: \((-2,5; \frac{5}{6}]\).

1) \((x+6)(x-7)<0\).
Произведение двух чисел меньше нуля, если они имеют разные знаки.

Тогда получаем две системы неравенств:
\((x+6>0 \, \text{и} \, x-7<0)\) или \((x+6<0 \, \text{и} \, x-7>0)\)
\((x>-6 \, \text{и} \, x<7)\) или \((x<-6 \, \text{и} \, x>7)\)
\(-6<x<7\) или \(\emptyset\).

Ответ: \((-6; 7)\).

2) \((2x-3)(3x+12)\geq0\).
Произведение двух чисел больше или равно нулю, если они имеют одинаковые знаки или хотя бы один из них равен нулю.

Тогда получаем две системы неравенств:
\((2x-3\geq0 \, \text{и} \, 3x+12\geq0)\) или \((2x-3\leq0 \, \text{и} \, 3x+12\leq0)\)
\((2x\geq3 \, \text{и} \, 3x\geq-12)\) или \((2x\leq3 \, \text{и} \, 3x\leq-12)\)
\((x\geq\frac{3}{2} \, \text{и} \, x\geq-4)\) или \((x\leq\frac{3}{2} \, \text{и} \, x\leq-4)\)
\(x\geq\frac{3}{2}\) или \(x\leq-4\).

Ответ: \((- \infty; -4] \, \text{и} \, [1,5; +\infty)\).

3) \(\frac{3x+1}{x-7}\geq0\).
Частное двух чисел больше или равно нулю, если делимое является неотрицательным числом, а делитель — положительным, или если делимое является неположительным числом, а делитель — отрицательным.

Тогда получаем две системы неравенств:
\((3x+1\geq0 \, \text{и} \, x-7>0)\) или \((3x+1\leq0 \, \text{и} \, x-7<0)\)
\((3x\geq-1 \, \text{и} \, x>7)\) или \((3x\leq-1 \, \text{и} \, x<7)\)
\(x\geq-\frac{1}{3} \, \text{и} \, x>7\) или \(x\leq-\frac{1}{3} \, \text{и} \, x<7\)
\(x>7\) или \(x\leq-\frac{1}{3}\).

Ответ: \((- \infty; -\frac{1}{3}] \, \text{и} \, (7; +\infty)\).

4) \(\frac{6x-5}{4x+10}\leq0\).
Частное двух чисел меньше или равно нулю, если делимое является неотрицательным числом, а делитель — отрицательным, или если делимое является неположительным числом, а делитель — положительным.

Тогда получаем две системы неравенств:
\((6x-5\geq0 \, \text{и} \, 4x+10<0)\) или \((6x-5\leq0 \, \text{и} \, 4x+10>0)\)
\((6x\geq5 \, \text{и} \, 4x<-10)\) или \((6x\leq5 \, \text{и} \, 4x>-10)\)
\(x\geq\frac{5}{6} \, \text{и} \, x<-\frac{5}{2}\) или \(x\leq\frac{5}{6} \, \text{и} \, x>-\frac{5}{2}\).

Решений нет или \(-\frac{5}{2}<x\leq\frac{5}{6}\).

Ответ: \((-2,5; \frac{5}{6}]\).

1) Рассмотрим неравенство \((x+6)(x-7)<0\). Произведение двух выражений будет меньше нуля, если одно из них положительное, а другое отрицательное. Это дает два возможных случая:

Первый случай: \((x+6>0)\) и \((x-7<0)\). Из первого неравенства следует, что \(x>-6\), а из второго \(x<7\). Таким образом, объединяя эти условия, получаем \(x \in (-6; 7)\).

Второй случай: \((x+6<0)\) и \((x-7>0)\). Из первого неравенства следует, что \(x<-6\), а из второго \(x>7\). Однако эти два условия противоречат друг другу, так как \(x\) не может одновременно быть меньше \(-6\) и больше \(7\). Следовательно, данное множество решений является пустым: \(\emptyset\).

Объединяя оба случая, окончательное решение будет: \(x \in (-6; 7)\).

2) Рассмотрим неравенство \((2x-3)(3x+12)\geq0\). Произведение двух выражений будет больше или равно нулю, если оба выражения имеют одинаковые знаки (оба положительные или оба отрицательные). Это дает два возможных случая:

Первый случай: \((2x-3\geq0)\) и \((3x+12\geq0)\). Из первого неравенства следует, что \(2x\geq3\), то есть \(x\geq\frac{3}{2}\). Из второго неравенства следует, что \(3x\geq-12\), то есть \(x\geq-4\). Объединяя эти условия, получаем \(x \geq \frac{3}{2}\).

Второй случай: \((2x-3\leq0)\) и \((3x+12\leq0)\). Из первого неравенства следует, что \(2x\leq3\), то есть \(x\leq\frac{3}{2}\). Из второго неравенства следует, что \(3x\leq-12\), то есть \(x\leq-4\). Объединяя эти условия, получаем \(x \leq -4\).

Объединяя оба случая, окончательное решение будет: \(x \in (-\infty; -4] \cup [\frac{3}{2}; +\infty)\).

3) Рассмотрим неравенство \(\frac{3x+1}{x-7}\geq0\). Дробь будет больше или равна нулю, если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки или числитель равен нулю. Это дает два возможных случая:

Первый случай: \((3x+1\geq0)\) и \((x-7>0)\). Из первого неравенства следует, что \(3x\geq-1\), то есть \(x\geq-\frac{1}{3}\). Из второго неравенства следует, что \(x>7\). Объединяя эти условия, получаем \(x>7\).

Второй случай: \((3x+1\leq0)\) и \((x-7<0)\). Из первого неравенства следует, что \(3x\leq-1\), то есть \(x\leq-\frac{1}{3}\). Из второго неравенства следует, что \(x<7\). Объединяя эти условия, получаем \(x\leq-\frac{1}{3}\).

Объединяя оба случая, окончательное решение будет: \(x \in (-\infty; -\frac{1}{3}] \cup (7; +\infty)\).

4) Рассмотрим неравенство \(\frac{6x-5}{4x+10}\leq0\). Дробь будет меньше или равна нулю, если числитель и знаменатель имеют противоположные знаки или числитель равен нулю. Это дает два возможных случая:

Первый случай: \((6x-5\geq0)\) и \((4x+10<0)\). Из первого неравенства следует, что \(6x\geq5\), то есть \(x\geq\frac{5}{6}\). Из второго неравенства следует, что \(4x<-10\), то есть \(x<-\frac{5}{2}\). Однако эти два условия противоречат друг другу, так как \(x\) не может одновременно быть больше или равным \(\frac{5}{6}\) и меньше \(-\frac{5}{2}\). Следовательно, решений в этом случае нет.

Второй случай: \((6x-5\leq0)\) и \((4x+10>0)\). Из первого неравенства следует, что \(6x\leq5\), то есть \(x\leq\frac{5}{6}\). Из второго неравенства следует, что \(4x>-10\), то есть \(x>-\frac{5}{2}\). Объединяя эти условия, получаем \(-\frac{5}{2}<x\leq\frac{5}{6}\).

Объединяя оба случая, окончательное решение будет: \(x \in (-\frac{5}{2}; \frac{5}{6}]\).