ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 6 Номер 29 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

При каких значениях а корни уравнения х^2 — (а + 1)х — 2а^2 + 11а — 12 = 0 принадлежат промежутку [-5; 7]?

\(x^2 — (a+1)x — 2a^2 + 11a — 12 = 0\)

\(D = (a+1)^2 — 4 \cdot (-2a^2 + 11a — 12) = a^2 + 2a + 1 + 8a^2 — 44a + 48 =\)
\(= 9a^2 — 42a + 49 = (3a — 7)^2\)

\(x_1 = \frac{a+1 + \sqrt{(3a-7)^2}}{2} = \frac{a+1 + (3a-7)}{2} = \frac{a+1+3a-7}{2} = \frac{4a-6}{2} = 2a-3;\)

\(x_2 = \frac{a+1 — \sqrt{(3a-7)^2}}{2} = \frac{a+1 — (3a-7)}{2} = \frac{a+1-3a+7}{2} = \frac{-2a+8}{2} = -a+4 = 4-a.\)

Запишем систему неравенств:

\[
\begin{array}{ll}
\begin{cases}
2a-3 \geq -5 \\
2a-3 \leq 7
\end{cases}
\text{или}
\begin{cases}
4-a \geq -5 \\
4-a \leq 7
\end{cases}
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{ll}
\begin{cases}
2a \geq -5+3 \\
2a \leq 7+3
\end{cases}
\text{или}
\begin{cases}
-a \geq -5-4 \\
-a \leq 7-4
\end{cases}
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{ll}
\begin{cases}
2a \geq -2 \\
2a \leq 10
\end{cases}
\text{или}
\begin{cases}
-a \geq -9 \\
-a \leq 3
\end{cases}
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{ll}
\begin{cases}
a \geq -1 \\
a \leq 5
\end{cases}
\text{или}
\begin{cases}
a \leq 9 \\
a \geq -3
\end{cases}
\end{array}
\]

\(-1 \leq a \leq 5\)

\(x^2 — (a+1)x — 2a^2 + 11a — 12 = 0\)

\(D = (a+1)^2 — 4 \cdot (-2a^2 + 11a — 12) = a^2 + 2a + 1 + 8a^2 — 44a + 48 =\)
\(= 9a^2 — 42a + 49 = (3a — 7)^2\)

\(x_1 = \frac{a+1 + \sqrt{(3a-7)^2}}{2} = \frac{a+1 + (3a-7)}{2} = \frac{a+1+3a-7}{2} = \frac{4a-6}{2} = 2a-3;\)

\(x_2 = \frac{a+1 — \sqrt{(3a-7)^2}}{2} = \frac{a+1 — (3a-7)}{2} = \frac{a+1-3a+7}{2} = \frac{-2a+8}{2} = -a+4 = 4-a.\)

Запишем систему неравенств:

\(
\begin{array}{ll}
\begin{cases}
2a-3 \geq -5 \\
2a-3 \leq 7
\end{cases}
\text{или}
\begin{cases}
4-a \geq -5 \\
4-a \leq 7
\end{cases}
\end{array}
\)

\(
\begin{array}{ll}
\begin{cases}
2a \geq -5+3 \\
2a \leq 7+3
\end{cases}
\text{или}
\begin{cases}
-a \geq -5-4 \\
-a \leq 7-4
\end{cases}
\end{array}
\)

\(
\begin{array}{ll}
\begin{cases}
2a \geq -2 \\
2a \leq 10
\end{cases}
\text{или}
\begin{cases}
-a \geq -9 \\
-a \leq 3
\end{cases}
\end{array}
\)

\(
\begin{array}{ll}
\begin{cases}
a \geq -1 \\
a \leq 5
\end{cases}
\text{или}
\begin{cases}
a \leq 9 \\
a \geq -3
\end{cases}
\end{array}
\)

\(-1 \leq a \leq 5\)

1. Рассмотрим квадратное уравнение \(x^2 — (a+1)x — 2a^2 + 11a — 12 = 0\). Найдем дискриминант:

\(
D = (a+1)^2 — 4 \cdot (-2a^2 + 11a — 12).
\)

Выполним вычисления:

\(
D = a^2 + 2a + 1 + 8a^2 — 44a + 48 = 9a^2 — 42a + 49 = (3a — 7)^2.
\)

2. Корни уравнения находятся по формуле:

\(
x_{1,2} = \frac{-(a+1) \pm \sqrt{D}}{2}.
\)

Подставим \(D = (3a-7)^2\):

\(
x_1 = \frac{a+1 + \sqrt{(3a-7)^2}}{2} = \frac{a+1 + (3a-7)}{2} = \frac{a+1+3a-7}{2} = \frac{4a-6}{2} = 2a-3,
\)

\(
x_2 = \frac{a+1 — \sqrt{(3a-7)^2}}{2} = \frac{a+1 — (3a-7)}{2} = \frac{a+1-3a+7}{2} = \frac{-2a+8}{2} = -a+4 = 4-a.
\)

3. Согласно условию, корни \(x_1\) и \(x_2\) должны принадлежать промежутку \((-5; 7)\). Запишем систему неравенств:

\(
\begin{cases}
2a-3 \geq -5, \\
2a-3 \leq 7
\end{cases}
\quad \text{или} \quad
\begin{cases}
4-a \geq -5, \\
4-a \leq 7.
\end{cases}
\)

4. Решим каждую систему:

Первая система:

\(
\begin{cases}
2a \geq -5+3, \\
2a \leq 7+3.
\end{cases}
\)

\(
\begin{cases}
2a \geq -2, \\
2a \leq 10.
\end{cases}
\)

\(
\begin{cases}
a \geq -1, \\
a \leq 5.
\end{cases}
\)

Вторая система:

\(
\begin{cases}
-a \geq -5-4, \\
-a \leq 7-4.
\end{cases}
\)

\(
\begin{cases}
-a \geq -9, \\
-a \leq 3.
\end{cases}
\)

\(
\begin{cases}
a \leq 9, \\
a \geq -3.
\end{cases}
\)

5. Найдем пересечение решений:

Первая система дает \(a \in (-1; 5)\), вторая система дает \(a \in (-3; 9)\). Пересечение:

\(
a \in (-1; 5).
\)