ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 6 Номер 30 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

При каких значениях а один из корней уравнения 4x^2 — 2(3а + 4)х + 2а^2 + 9а — 5 = 0 меньше -3, а другой — больше 4?

\(4x^2 — 2(3a + 4)x + 2a^2 + 9a — 5 = 0.\)
\(D = (2(3a + 4))^2 — 4 \cdot 4 \cdot (2a^2 + 9a — 5) = (6a + 8)^2 — 16 \cdot (2a^2 + 9a — 5) =\)
\(= 36a^2 + 96a + 64 — 32a^2 — 144a + 80 = 4a^2 — 48a + 144 = (2a — 12)^2.\)

\(
x_1 = \frac{2(3a + 4) + \sqrt{(2a — 12)^2}}{2 \cdot 4} = \frac{6a + 8 + (2a — 12)}{8} = \frac{6a + 8 + 2a — 12}{8} = \frac{8a — 4}{8} = \frac{8a}{8} — \frac{4}{8} =\)
\(= a — 0.5;
\)

\(
x_2 = \frac{2(3a + 4) — \sqrt{(2a — 12)^2}}{2 \cdot 4} = \frac{6a + 8 — (2a — 12)}{8} = \frac{6a + 8 — 2a + 12}{8} = \frac{4a + 20}{8} = \frac{4a}{8} + \frac{20}{8} =\)
\(= 0.5a + 2.5.
\)

Запишем систему неравенств:

Ответ: таких \(a\) не существует.

\(4x^2 — 2(3a + 4)x + 2a^2 + 9a — 5 = 0.\)
\(D = (2(3a + 4))^2 — 4 \cdot 4 \cdot (2a^2 + 9a — 5) = (6a + 8)^2 — 16 \cdot (2a^2 + 9a — 5) =\)
\(= 36a^2 + 96a + 64 — 32a^2 — 144a + 80 = 4a^2 — 48a + 144 = (2a — 12)^2.\)

\(
x_1 = \frac{2(3a + 4) + \sqrt{(2a — 12)^2}}{2 \cdot 4} = \frac{6a + 8 + (2a — 12)}{8} = \frac{6a + 8 + 2a — 12}{8} = \frac{8a — 4}{8} = \frac{8a}{8} — \frac{4}{8} =\)
\(= a — 0.5;
\)

\(
x_2 = \frac{2(3a + 4) — \sqrt{(2a — 12)^2}}{2 \cdot 4} = \frac{6a + 8 — (2a — 12)}{8} = \frac{6a + 8 — 2a + 12}{8} = \frac{4a + 20}{8} = \frac{4a}{8} + \frac{20}{8} =\)
\(= 0.5a + 2.5.
\)

Запишем систему неравенств:

Ответ: таких \(a\) не существует.

Корни уравнения равны \(x_1 = a — 0.5\) и \(x_2 = 0.5a + 2.5\). Запишем систему неравенств, чтобы оба корня находились в заданных пределах: \(x_1 < -3\), \(x_2 > 4\), \(x_1 > 4\), \(x_2 < -3\).

Рассмотрим каждое условие отдельно.

1. \(x_1 < -3:\)
\(a — 0.5 < -3\), следовательно, \(a < -3 + 0.5\), то есть \(a < -2.5\).

2. \(x_2 > 4:\)
\(0.5a + 2.5 > 4\), следовательно, \(0.5a > 4 — 2.5\), то есть \(0.5a > 1.5\).
Отсюда \(a > 3\).

3. \(x_1 > 4:\)
\(a — 0.5 > 4\), следовательно, \(a > 4 + 0.5\), то есть \(a > 4.5\).

4. \(x_2 < -3:\)
\(0.5a + 2.5 < -3\), следовательно, \(0.5a < -3 — 2.5\), то есть \(0.5a < -5.5\).
Отсюда \(a < -11\).

Объединим результаты. Условие \(a < -2.5\) противоречит \(a > 3\), а \(a > 4.5\) противоречит \(a < -11\). Следовательно, решений нет.
Ответ:\(\emptyset\).