ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 7 Номер 10 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

10. Дана функция \(f(x) = \begin{cases} \frac{6}{x}, & \text{если } x \leq -2; \\ \frac{4}{3}x — \frac{1}{3}, & \text{если } -2 < x < 1; \\ x^2, & \text{если } x \geq 1. \end{cases}\) 1) Заполните пропуски. \(f(6) = \_\_\_\_; \quad f(-2) = \_\_\_\_; \quad f(-1) = \_\_\_\_; \quad f(0) = \_\_\_\_;\) \( \quad f(1) = \_\_\_\_; \quad f(7) = \_\_\_\_\) 2) Постройте график данной функции.

\(f(x) = \begin{cases}
\frac{6}{x}, & \text{если } x \leq -2 \\
\frac{4}{3}x — \frac{1}{3}, & \text{если } -2 < x < 1 \\ x^2, & \text{если } x \geq 1 \end{cases}\) 1) \(f(-6) = \frac{6}{x} = \frac{6}{-6} = -1;\) \(f(0) = \frac{4}{3}x - \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} = -\frac{1}{3};\) \(f(-2) = \frac{6}{x} = \frac{6}{-2} = -3;\) \(f(1) = x^2 = 1^2 = 1;\) \(f(-1) = \frac{4}{3}x - \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \cdot (-1) - \frac{1}{3} = -\frac{4}{3} - \frac{1}{3} = -\frac{5}{3} = -1 \frac{2}{3};\) \(f(7) = x^2 = 7^2 = 49.\) 2) Построим график данной функции:

\(f(x) = \begin{cases}
\frac{6}{x}, & \text{если } x \leq -2 \\
\frac{4}{3}x — \frac{1}{3}, & \text{если } -2 < x < 1 \\ x^2, & \text{если } x \geq 1 \end{cases}\) 1) \(f(-6) = \frac{6}{x} = \frac{6}{-6} = -1;\) \(f(0) = \frac{4}{3}x - \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} = -\frac{1}{3};\) \(f(-2) = \frac{6}{x} = \frac{6}{-2} = -3;\) \(f(1) = x^2 = 1^2 = 1;\) \(f(-1) = \frac{4}{3}x - \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \cdot (-1) - \frac{1}{3} = -\frac{4}{3} - \frac{1}{3} = -\frac{5}{3} = -1 \frac{2}{3};\) \(f(7) = x^2 = 7^2 = 49.\) 2) Построим график данной функции:
Функция \(f(x)\) задана по частям и имеет три различных выражения в зависимости от значения переменной \(x\). Для значений \(x\), меньших или равных \(-2\), функция определяется как \(f(x) = \frac{6}{x}\). Это означает, что для каждого \(x\) из интервала \((-\infty, -2]\) значение функции равно шести, делённым на \(x\). Например, при \(x = -6\) вычисление даёт \(f(-6) = \frac{6}{-6} = -1\). Аналогично, при \(x = -2\), \(f(-2) = \frac{6}{-2} = -3\). Это выражение представляет собой гиперболу, которая убывает с увеличением отрицательных значений \(x\).

Для промежутка \(-2 < x < 1\) функция задаётся линейным выражением \(f(x) = \frac{4}{3}x - \frac{1}{3}\). Это означает, что для значений \(x\) между \(-2\) и \(1\) функция изменяется по прямой линии с угловым коэффициентом \(\frac{4}{3}\) и смещением \(-\frac{1}{3}\). Например, при \(x = 0\), \(f(0) = \frac{4}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} = -\frac{1}{3}\), а при \(x = -1\), \(f(-1) = \frac{4}{3} \cdot (-1) - \frac{1}{3} = -\frac{4}{3} - \frac{1}{3} = -\frac{5}{3} = -1 \frac{2}{3}\). Этот участок функции является наклонной прямой, которая растёт с увеличением \(x\) на данном интервале. Для значений \(x\), больших или равных \(1\), функция принимает вид квадратичной функции \(f(x) = x^2\). Это классическая парабола, ветви которой направлены вверх. Например, при \(x = 1\), \(f(1) = 1^2 = 1\), а при \(x = 7\), \(f(7) = 7^2 = 49\). На этом участке функция возрастает очень быстро по мере увеличения \(x\), так как квадратичное выражение растёт пропорционально квадрату аргумента. Таким образом, функция \(f(x)\) представляет собой кусочно-заданную функцию, которая на каждом из трёх интервалов ведёт себя по-разному: сначала убывает гиперболически, затем растёт линейно, и наконец, возрастает квадратично. Это позволяет построить график, отражающий эти особенности: слева будет ветвь гиперболы, в середине — наклонная прямая, а справа — парабола. Такое построение важно для понимания поведения функции на разных участках и для анализа её свойств, таких как непрерывность и дифференцируемость.