ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 7 Номер 12 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

1) \( f(x) = \sqrt{x-6} + \frac{3}{x+6} \);

2) \( f(x) = \sqrt{x+2} — \frac{1}{|x|-2} \);

3) \( f(x) = \frac{\sqrt{7-x}}{\sqrt{x+1}} + \frac{1}{x^2 — 2x} \).

1) \( f(x) = \sqrt{x-6} + \frac{3}{x+6} \)
Область определения данной функции – множество решений системы неравенств:
\(\begin{cases}
6 — x \geq 0 \\
x + 6 \neq 0
\end{cases}\)
\(\begin{cases}
-x \geq -6 \\
x \neq -6
\end{cases}\)
\(\begin{cases}
x \leq 6 \\
x \neq -6
\end{cases}\)
Следовательно, \( D(f) = (-\infty; -6) \cup (-6; 6] \).

2) \( f(x) = \sqrt{x+2} — \frac{1}{|x| — 2} \)
Область определения данной функции – множество решений системы неравенств:
\(\begin{cases}
x + 2 \geq 0 \\
|x| — 2 \neq 0
\end{cases}\)
\(\begin{cases}
x \geq -2 \\
|x| \neq 2
\end{cases}\)
\(\begin{cases}
x \geq -2 \\
x \neq -2 \text{ и } x \neq 2
\end{cases}\)
Следовательно, \( D(f) = (-2; 2) \cup (2; +\infty) \).

3) \( f(x) = \frac{\sqrt{7 — x}}{\sqrt{x + 1}} + \frac{1}{x^2 — 2x} \)
Область определения данной функции – множество решений системы неравенств:
\(\begin{cases}
7 — x \geq 0 \\
x + 1 > 0 \\
x^2 — 2x \neq 0
\end{cases}\)
\(\begin{cases}
-x \geq -7 \\
x > -1 \\
x(x — 2) \neq 0
\end{cases}\)
\(\begin{cases}
x \leq 7 \\
x > -1 \\
x \neq 0 \text{ и } x \neq 2
\end{cases}\)
Следовательно, \( D(f) = (-1; 0) \cup (0; 2) \cup (2; 7] \).

1) \( f(x) = \sqrt{x-6} + \frac{3}{x+6} \)
Область определения данной функции – множество решений системы неравенств:
\(\begin{cases}
6 — x \geq 0 \\
x + 6 \neq 0
\end{cases}\)
\(\begin{cases}
-x \geq -6 \\
x \neq -6
\end{cases}\)
\(\begin{cases}
x \leq 6 \\
x \neq -6
\end{cases}\)
Следовательно, \( D(f) = (-\infty; -6) \cup (-6; 6] \).

2) \( f(x) = \sqrt{x+2} — \frac{1}{|x| — 2} \)
Область определения данной функции – множество решений системы неравенств:
\(\begin{cases}
x + 2 \geq 0 \\
|x| — 2 \neq 0
\end{cases}\)
\(\begin{cases}
x \geq -2 \\
|x| \neq 2
\end{cases}\)
\(\begin{cases}
x \geq -2 \\
x \neq -2 \text{ и } x \neq 2
\end{cases}\)
Следовательно, \( D(f) = (-2; 2) \cup (2; +\infty) \).

3) \( f(x) = \frac{\sqrt{7 — x}}{\sqrt{x + 1}} + \frac{1}{x^2 — 2x} \)
Область определения данной функции – множество решений системы неравенств:
\(\begin{cases}
7 — x \geq 0 \\
x + 1 > 0 \\
x^2 — 2x \neq 0
\end{cases}\)
\(\begin{cases}
-x \geq -7 \\
x > -1 \\
x(x — 2) \neq 0
\end{cases}\)
\(\begin{cases}
x \leq 7 \\
x > -1 \\
x \neq 0 \text{ и } x \neq 2
\end{cases}\)
Следовательно, \( D(f) = (-1; 0) \cup (0; 2) \cup (2; 7] \).
1) Функция задана формулой \( f(x) = \sqrt{x-6} + \frac{3}{x+6} \). Чтобы определить область определения функции, нужно учесть ограничения, накладываемые на выражение под корнем и знаменатель дроби. Подкоренное выражение \( x-6 \) должно быть неотрицательным, так как корень квадратный определён только для чисел \( \geq 0 \). Значит, \( x-6 \geq 0 \), откуда \( x \geq 6 \). Одновременно знаменатель дроби \( x+6 \) не должен равняться нулю, иначе дробь не определена. Значит, \( x \neq -6 \).

Далее, система неравенств для определения области определения функции записывается так:
\(\begin{cases}
6 — x \geq 0 \\
x + 6 \neq 0
\end{cases}\), что эквивалентно
\(\begin{cases}
x \leq 6 \\
x \neq -6
\end{cases}\).
Поскольку для корня мы нашли \( x \geq 6 \), а для дроби \( x \neq -6 \), то объединяя эти условия, получаем, что \( x \) может принимать значения из двух интервалов: от минус бесконечности до -6 (не включая -6) и от -6 до 6 включительно. Таким образом, область определения функции:
\( D(f) = (-\infty; -6) \cup (-6; 6] \).

2) Рассмотрим функцию \( f(x) = \sqrt{x+2} — \frac{1}{|x| — 2} \). Здесь подкоренное выражение \( x+2 \) должно быть неотрицательным, то есть \( x+2 \geq 0 \), откуда \( x \geq -2 \). Также знаменатель дроби \( |x| — 2 \) не должен равняться нулю, иначе функция не определена. Значит, \( |x| — 2 \neq 0 \), то есть \( |x| \neq 2 \). Это означает, что \( x \neq 2 \) и \( x \neq -2 \).

Система неравенств для области определения функции:
\(\begin{cases}
x + 2 \geq 0 \\
|x| — 2 \neq 0
\end{cases}\), что равносильно
\(\begin{cases}
x \geq -2 \\
x \neq -2 \text{ и } x \neq 2
\end{cases}\).
Таким образом, область определения функции — это все числа \( x \), большие или равные -2, за исключением точек \( x = -2 \) и \( x = 2 \). В итоге область определения:
\( D(f) = (-2; 2) \cup (2; +\infty) \).

3) Функция задана формулой \( f(x) = \frac{\sqrt{7 — x}}{\sqrt{x + 1}} + \frac{1}{x^2 — 2x} \). Здесь необходимо учесть несколько условий. Во-первых, подкоренное выражение \( 7 — x \) под корнем должно быть неотрицательным, значит \( 7 — x \geq 0 \), откуда \( x \leq 7 \). Во-вторых, подкоренное выражение в знаменателе \( x + 1 \) должно быть строго положительным, так как корень в знаменателе не может быть равен нулю или отрицательным числом, значит \( x + 1 > 0 \), откуда \( x > -1 \).

Кроме того, знаменатель дроби \( x^2 — 2x \) не должен равняться нулю, то есть \( x^2 — 2x \neq 0 \). Факторизуем выражение: \( x(x — 2) \neq 0 \), значит \( x \neq 0 \) и \( x \neq 2 \).

Система неравенств для области определения функции:
\(\begin{cases}
7 — x \geq 0 \\
x + 1 > 0 \\
x^2 — 2x \neq 0
\end{cases}\), или
\(\begin{cases}
x \leq 7 \\
x > -1 \\
x \neq 0 \text{ и } x \neq 2
\end{cases}\).
Таким образом, область определения функции состоит из трёх интервалов: от -1 до 0 (не включая 0), от 0 до 2 (не включая 2) и от 2 до 7 включительно. Итог:
\( D(f) = (-1; 0) \cup (0; 2) \cup (2; 7] \).
1) Функция задана формулой \( f(x) = \sqrt{x-6} + \frac{3}{x+6} \). Чтобы определить область определения функции, нужно учесть ограничения, накладываемые на выражение под корнем и знаменатель дроби. Подкоренное выражение \( x-6 \) должно быть неотрицательным, так как корень квадратный определён только для чисел \( \geq 0 \). Значит, \( x-6 \geq 0 \), откуда \( x \geq 6 \). Одновременно знаменатель дроби \( x+6 \) не должен равняться нулю, иначе дробь не определена. Значит, \( x \neq -6 \).

Далее, система неравенств для определения области определения функции записывается так:
\(\begin{cases}
6 — x \geq 0 \\
x + 6 \neq 0
\end{cases}\), что эквивалентно
\(\begin{cases}
x \leq 6 \\
x \neq -6
\end{cases}\).
Поскольку для корня мы нашли \( x \geq 6 \), а для дроби \( x \neq -6 \), то объединяя эти условия, получаем, что \( x \) может принимать значения из двух интервалов: от минус бесконечности до -6 (не включая -6) и от -6 до 6 включительно. Таким образом, область определения функции:
\( D(f) = (-\infty; -6) \cup (-6; 6] \).

2) Рассмотрим функцию \( f(x) = \sqrt{x+2} — \frac{1}{|x| — 2} \). Здесь подкоренное выражение \( x+2 \) должно быть неотрицательным, то есть \( x+2 \geq 0 \), откуда \( x \geq -2 \). Также знаменатель дроби \( |x| — 2 \) не должен равняться нулю, иначе функция не определена. Значит, \( |x| — 2 \neq 0 \), то есть \( |x| \neq 2 \). Это означает, что \( x \neq 2 \) и \( x \neq -2 \).

Система неравенств для области определения функции:
\(\begin{cases}
x + 2 \geq 0 \\
|x| — 2 \neq 0
\end{cases}\), что равносильно
\(\begin{cases}
x \geq -2 \\
x \neq -2 \text{ и } x \neq 2
\end{cases}\).
Таким образом, область определения функции — это все числа \( x \), большие или равные -2, за исключением точек \( x = -2 \) и \( x = 2 \). В итоге область определения:
\( D(f) = (-2; 2) \cup (2; +\infty) \).

3) Функция задана формулой \( f(x) = \frac{\sqrt{7 — x}}{\sqrt{x + 1}} + \frac{1}{x^2 — 2x} \). Здесь необходимо учесть несколько условий. Во-первых, подкоренное выражение \( 7 — x \) под корнем должно быть неотрицательным, значит \( 7 — x \geq 0 \), откуда \( x \leq 7 \). Во-вторых, подкоренное выражение в знаменателе \( x + 1 \) должно быть строго положительным, так как корень в знаменателе не может быть равен нулю или отрицательным числом, значит \( x + 1 > 0 \), откуда \( x > -1 \).

Кроме того, знаменатель дроби \( x^2 — 2x \) не должен равняться нулю, то есть \( x^2 — 2x \neq 0 \). Факторизуем выражение: \( x(x — 2) \neq 0 \), значит \( x \neq 0 \) и \( x \neq 2 \).

Система неравенств для области определения функции:
\(\begin{cases}
7 — x \geq 0 \\
x + 1 > 0 \\
x^2 — 2x \neq 0
\end{cases}\), или
\(\begin{cases}
x \leq 7 \\
x > -1 \\
x \neq 0 \text{ и } x \neq 2
\end{cases}\).
Таким образом, область определения функции состоит из трёх интервалов: от -1 до 0 (не включая 0), от 0 до 2 (не включая 2) и от 2 до 7 включительно. Итог:
\( D(f) = (-1; 0) \cup (0; 2) \cup (2; 7] \).