ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 7 Номер 13 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

13. Найдите область значений функции.

1) \( f(x) = |x| — 4 \)

2) \( f(x) = 7 — x^2 \)

3) \( f(x) = \sqrt{x} + 12 \)

4) \( f(x) = \sqrt{x+4} + \sqrt{-x-4} \)

1) \( f(x) = |x| — 4 \).
Поскольку выражение \( |x| \) принимает все значения из промежутка \([0; +\infty)\), то выражение \( |x| — 4 \) принимает все значения из промежутка \([-4; +\infty)\). Следовательно, \( E(f) = [-4; +\infty) \).

2) \( f(x) = 7 — x^2 \).
Поскольку выражение \(-x^2\) принимает все значения из промежутка \((-\infty; 0]\), то выражение \( 7 — x^2 \) принимает все значения из промежутка \((-\infty; 7]\). Следовательно, \( E(f) = (-\infty; 7] \).

3) \( f(x) = \sqrt{x} + 12 \).
Поскольку при \( x \in [0; +\infty) \) выражение \( \sqrt{x} \) принимает все значения из промежутка \([0; +\infty)\), то выражение \( \sqrt{x} + 12 \) принимает все значения из промежутка \([12; +\infty)\). Следовательно, \( E(f) = [12; +\infty) \).

4) \( f(x) = \sqrt{x+4} + \sqrt{-x-4} \).
Область определения данной функции — множество решений системы неравенств:
\[
\begin{cases}
x + 4 \geq 0 \\
-x — 4 \geq 0
\end{cases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{cases}
x \geq -4 \\
x \leq -4
\end{cases}
\quad \Rightarrow \quad D(f) = \{-4\}.
\]
\( f(-4) = \sqrt{-4+4} + \sqrt{-(-4)-4} = \sqrt{0} + \sqrt{0} = 0 \).
Следовательно, \( E(f) = \{0\} \).

1) \( f(x) = |x| — 4 \).
Поскольку выражение \( |x| \) принимает все значения из промежутка \([0; +\infty)\), то выражение \( |x| — 4 \) принимает все значения из промежутка \([-4; +\infty)\). Следовательно, \( E(f) = [-4; +\infty) \).

2) \( f(x) = 7 — x^2 \).
Поскольку выражение \(-x^2\) принимает все значения из промежутка \((-\infty; 0]\), то выражение \( 7 — x^2 \) принимает все значения из промежутка \((-\infty; 7]\). Следовательно, \( E(f) = (-\infty; 7] \).

3) \( f(x) = \sqrt{x} + 12 \).
Поскольку при \( x \in [0; +\infty) \) выражение \( \sqrt{x} \) принимает все значения из промежутка \([0; +\infty)\), то выражение \( \sqrt{x} + 12 \) принимает все значения из промежутка \([12; +\infty)\). Следовательно, \( E(f) = [12; +\infty) \).

4) \( f(x) = \sqrt{x+4} + \sqrt{-x-4} \).
Область определения данной функции — множество решений системы неравенств:
\[
\begin{cases}
x + 4 \geq 0 \\
-x — 4 \geq 0
\end{cases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{cases}
x \geq -4 \\
x \leq -4
\end{cases}
\quad \Rightarrow \quad D(f) = \{-4\}.
\]
\( f(-4) = \sqrt{-4+4} + \sqrt{-(-4)-4} = \sqrt{0} + \sqrt{0} = 0 \).
Следовательно, \( E(f) = \{0\} \).
1) Функция \( f(x) = |x| — 4 \) основана на модуле числа \( x \), который всегда неотрицателен, то есть \( |x| \geq 0 \) для любого \( x \). Это означает, что выражение \( |x| \) принимает все значения из промежутка \( [0; +\infty) \). Когда мы вычитаем 4 из этого значения, получается новое выражение \( |x| — 4 \), которое сдвигает все значения вниз на 4 единицы. Следовательно, минимальное значение функции достигается при \( |x| = 0 \), и оно равно \( -4 \), а максимальных ограничений сверху нет, так как \( |x| \) может быть сколь угодно большим. Таким образом, множество значений функции, или область значений, будет \( [-4; +\infty) \).

Если рассмотреть график функции, то он представляет собой две ветви, исходящие из точки \( (0; -4) \), направленные вверх вправо и влево, так как модуль \( |x| \) симметричен относительно оси \( y \). Это подтверждает, что функция принимает все значения, начиная с \( -4 \) и выше. Важно понимать, что функция не принимает значения меньше \( -4 \), потому что модуль не может быть отрицательным, и вычитание 4 не может уменьшить значение ниже этой границы.

Таким образом, область значений функции \( f \) — это все числа, начиная с \( -4 \) включительно и до бесконечности, что записывается как \( E(f) = [-4; +\infty) \).

2) Функция \( f(x) = 7 — x^2 \) включает квадрат числа \( x \), который всегда неотрицателен, то есть \( x^2 \geq 0 \) для всех \( x \). При этом знак минус перед \( x^2 \) меняет знак результата на противоположный, поэтому выражение \( -x^2 \) принимает все значения из промежутка \( (-\infty; 0] \). Максимальное значение \( -x^2 \) достигается при \( x = 0 \), где оно равно 0, а минимальное стремится к минус бесконечности при увеличении по модулю \( x \).

Добавляя 7 к этому выражению, мы сдвигаем весь график функции вверх на 7 единиц. Максимальное значение функции достигается при \( x = 0 \), где \( f(0) = 7 \), а минимальных ограничений снизу нет, так как \( x^2 \) может быть очень большим, и \( 7 — x^2 \) будет стремиться к минус бесконечности. Следовательно, область значений функции — это все числа от минус бесконечности до 7 включительно, что записывается как \( E(f) = (-\infty; 7] \).

Графически функция представляет собой параболу, направленную вниз, вершина которой находится в точке \( (0; 7) \). Это подтверждает, что максимальное значение функции — 7, а все остальные значения меньше или равны 7.

3) Функция \( f(x) = \sqrt{x} + 12 \) включает корень квадратный из \( x \), который определён только при \( x \geq 0 \), и при этом принимает все значения из промежутка \( [0; +\infty) \). Добавляя 12, мы сдвигаем все значения функции вверх на 12 единиц. Следовательно, минимальное значение функции будет равно 12 при \( x = 0 \), а максимальных ограничений сверху нет.

Область значений функции — это все числа от 12 включительно до бесконечности, что записывается как \( E(f) = [12; +\infty) \). График функции начинается в точке \( (0; 12) \) и монотонно возрастает вправо, так как корень квадратный растёт при увеличении \( x \).

4) Функция \( f(x) = \sqrt{x+4} + \sqrt{-x-4} \) представляет собой сумму двух корней квадратных, каждый из которых требует, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Для первого корня \( \sqrt{x+4} \) необходимо, чтобы \( x + 4 \geq 0 \), то есть \( x \geq -4 \). Для второго корня \( \sqrt{-x-4} \) необходимо, чтобы \( -x — 4 \geq 0 \), что эквивалентно \( x \leq -4 \).

Объединяя эти условия, получаем систему:
\[
\begin{cases}
x \geq -4 \\
x \leq -4
\end{cases}
\]
Это означает, что единственное значение \( x \), при котором функция определена, — это \( x = -4 \). Следовательно, область определения функции состоит из одного элемента: \( D(f) = \{-4\} \).

Подставляя \( x = -4 \) в функцию, получаем:
\( f(-4) = \sqrt{-4 + 4} + \sqrt{-(-4) — 4} = \sqrt{0} + \sqrt{0} = 0 \).
Таким образом, функция принимает единственное значение 0, и область значений равна \( E(f) = \{0\} \). Это означает, что функция определена и принимает значение только в одной точке, что соответствует очень узкой области определения.