ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 7 Номер 14 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир, 9 класс, Вентана-Граф, 14. Задайте формулой какую-нибудь функцию, областью определения которой является:

1) множество действительных чисел, кроме чисел -7 и 3;

2) множество действительных чисел, которые не меньше -2, кроме числа 4;

3) множество, состоящее из одного числа 9:

1) \( x \neq -7 \) и \( x \neq 3 \):
\( f(x) = \frac{8}{x+7} + \frac{4}{x-3} \).

2) \( x \geq -2 \), кроме числа 4:
\( f(x) = \sqrt{7x + 14} + \frac{3}{x-4} \).

3) \( x = \{9\} \):
\( f(x) = \sqrt{2x — 18} + \sqrt{18 — 2x} \).

1) \( x \neq -7 \) и \( x \neq 3 \):
\( f(x) = \frac{8}{x+7} + \frac{4}{x-3} \).

2) \( x \geq -2 \), кроме числа 4:
\( f(x) = \sqrt{7x + 14} + \frac{3}{x-4} \).

3) \( x = \{9\} \):
\( f(x) = \sqrt{2x — 18} + \sqrt{18 — 2x} \).
1) Рассмотрим функцию \( f(x) = \frac{8}{x+7} + \frac{4}{x-3} \) при условии, что \( x \neq -7 \) и \( x \neq 3 \). Здесь важно понимать, что знаменатели дробей не могут быть равны нулю, так как деление на ноль не определено в математике. Поэтому исключаем из области определения функции значения \( x = -7 \) и \( x = 3 \), так как при этих значениях знаменатели становятся нулём. Функция представляет собой сумму двух рациональных выражений, каждое из которых имеет вертикальную асимптоту при запрещённом значении переменной. Это означает, что график функции будет стремиться к бесконечности вблизи этих точек.

2) Во втором примере функция задана как \( f(x) = \sqrt{7x + 14} + \frac{3}{x-4} \), где \( x \geq -2 \), кроме числа 4. Здесь область определения ограничена двумя условиями. Во-первых, подкоренное выражение \( 7x + 14 \) должно быть неотрицательным, чтобы корень был действительным числом. Решая неравенство \( 7x + 14 \geq 0 \), получаем \( x \geq -2 \). Во-вторых, знаменатель дроби не должен обнуляться, следовательно, \( x \neq 4 \). Таким образом, область определения функции — все \( x \), начиная с \(-2\) и выше, за исключением точки \( 4 \). Функция сочетает в себе иррациональное выражение и рациональное с вертикальной асимптотой в точке \( x=4 \).

3) В третьем случае функция \( f(x) = \sqrt{2x — 18} + \sqrt{18 — 2x} \) определена только при \( x = \{9\} \). Это связано с тем, что оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными одновременно. Рассмотрим каждое из них: \( 2x — 18 \geq 0 \Rightarrow x \geq 9 \) и \( 18 — 2x \geq 0 \Rightarrow x \leq 9 \). Из этих неравенств следует, что единственное значение \( x \), при котором оба условия выполняются, это \( x = 9 \). Таким образом, функция определена только в одной точке, что делает её область определения очень узкой. При \( x=9 \) подкоренные выражения обращаются в ноль, и функция принимает значение \( f(9) = 0 + 0 = 0 \).