ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 7 Номер 15 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Постройте график функции \( y = \begin{cases}
x^2, & \text{если } |x| \leq 1; \\
-\frac{1}{x}, & \text{если } |x| > 1.
\end{cases} \) Определите, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) имеет с графиком единственную общую точку.

\( y = \begin{cases}
x^2, & \text{если } |x| \leq 1 \\
-\frac{1}{x}, & \text{если } |x| > 1
\end{cases} \)

\( y = x^2, \text{ если } -1 \leq x \leq 1; \)

\( y = -\frac{1}{x}, \text{ если } x < -1 \text{ и } x > 1; \)

При \(-1 \leq m < 0\) прямая \(y = m\) имеет с графиком единственную общую точку.

\( y = \begin{cases}
x^2, & \text{если } |x| \leq 1 \\
-\frac{1}{x}, & \text{если } |x| > 1
\end{cases} \)

\( y = x^2, \text{ если } -1 \leq x \leq 1; \)

\( y = -\frac{1}{x}, \text{ если } x < -1 \text{ и } x > 1; \)

При \(-1 \leq m < 0\) прямая \(y = m\) имеет с графиком единственную общую точку. Функция задана кусочно: \( y = \begin{cases} x^2, & \text{если } |x| \leq 1 \\ -\frac{1}{x}, & \text{если } |x| > 1
\end{cases} \). Это означает, что для значений \(x\), лежащих между \(-1\) и \(1\) включительно, функция ведёт себя как квадратичная, а за пределами этого интервала — как гипербола с отрицательным знаком.

В интервале \(-1 \leq x \leq 1\) функция принимает вид \( y = x^2 \). Это классическая парабола, которая достигает минимума в точке \(x=0\), где \(y=0\), и возрастает к краям интервала. В таблице представлены значения функции в граничных точках: при \(x=-1\) и \(x=1\) значение \(y=1\). Это показывает, что график функции на этом участке замыкается между этими точками, формируя симметричную по оси \(y\) параболу.

За пределами интервала \(|x| > 1\) функция определяется как \( y = -\frac{1}{x} \). Здесь график представляет собой две ветви гиперболы, расположенные в первой и третьей четвертях координатной плоскости, но с отрицательным знаком. Значения функции при \(x=-2\) и \(x=2\) равны соответственно \(0{,}5\) и \(-0{,}5\), как указано в таблице. Это показывает, что при отрицательных значениях \(x\) функция положительна, а при положительных — отрицательна. Такая структура функции создаёт разрыв в точках \(x=-1\) и \(x=1\), где происходит переход от параболы к гиперболе.

Если рассмотреть прямую \(y=m\), где \(m\) — параметр, то при \( -1 \leq m < 0 \) она пересекает график функции в единственной точке. Это связано с тем, что на участке параболы \(y=x^2\) значения \(y\) не могут быть отрицательными, а на ветвях гиперболы \(y=-\frac{1}{x}\) значения \(y\) могут принимать отрицательные значения при \(x>1\). Следовательно, для таких \(m\) прямая касается или пересекает только одну из ветвей гиперболы, что гарантирует единственность точки пересечения с графиком функции.