ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 7 Номер 16 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Найдите область определения функции и постройте её график.
1) \( f(x) = \frac{x^3 — 4x}{x^2 — 4} \);
2) \( f(x) = \frac{x\sqrt{x} — \sqrt{x}}{x — 1} \);
3) \( f(x) = \frac{x^4 — 3x^2}{x^2 — 3} \).

1) \( f(x) = \frac{x^3 — 4x}{x^2 — 4} \).
Данная функция определена при \( x^2 — 4 \neq 0 \).
Отсюда \( x^2 \neq 4 \); \( x \neq -2 \) и \( x \neq 2 \).
Следовательно, \( D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty) \).
Имеем:
\[
\frac{x^3 — 4x}{x^2 — 4} = \frac{x(x^2 — 4)}{x^2 — 4} = x.
\]
Таким образом, графиком данной функции являются все точки прямой \( y = x \), за исключением точек с абсциссами \(-2\) и \(2\).

2) \( f(x) = \frac{x\sqrt{x} — \sqrt{x}}{x — 1} \).
Данная функция определена при \( x — 1 \neq 0 \).
Отсюда \( x \neq 1 \).
Следовательно, \( D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty) \).
Имеем:
\[
\frac{x\sqrt{x} — \sqrt{x}}{x — 1} = \frac{\sqrt{x}(x — 1)}{x — 1} = \sqrt{x}.
\]
Таким образом, графиком данной функции являются все точки ветви параболы \( y = \sqrt{x} \), за исключением точки с абсциссой 1.

3) \( f(x) = \frac{x^4 — 3x^2}{x^2 — 3} \).
Данная функция определена при \( x^2 — 3 \neq 0 \).
Отсюда \( x^2 \neq 3 \); \( x \neq -\sqrt{3} \) и \( x \neq \sqrt{3} \).
Следовательно,
\[
D(f) = (-\infty; -\sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3}; \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; +\infty).
\]
Имеем:
\[
\frac{x^4 — 3x^2}{x^2 — 3} = \frac{x^2(x^2 — 3)}{x^2 — 3} = x^2.
\]
Таким образом, графиком данной функции являются все точки параболы \( y = x^2 \), за исключением точек с абсциссами \(-\sqrt{3}\) и \(\sqrt{3}\).

1) \( f(x) = \frac{x^3 — 4x}{x^2 — 4} \).
Данная функция определена при \( x^2 — 4 \neq 0 \).
Отсюда \( x^2 \neq 4 \); \( x \neq -2 \) и \( x \neq 2 \).
Следовательно, \( D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty) \).
Имеем:
\[
\frac{x^3 — 4x}{x^2 — 4} = \frac{x(x^2 — 4)}{x^2 — 4} = x.
\]
Таким образом, графиком данной функции являются все точки прямой \( y = x \), за исключением точек с абсциссами \(-2\) и \(2\).

2) \( f(x) = \frac{x\sqrt{x} — \sqrt{x}}{x — 1} \).
Данная функция определена при \( x — 1 \neq 0 \).
Отсюда \( x \neq 1 \).
Следовательно, \( D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty) \).
Имеем:
\[
\frac{x\sqrt{x} — \sqrt{x}}{x — 1} = \frac{\sqrt{x}(x — 1)}{x — 1} = \sqrt{x}.
\]
Таким образом, графиком данной функции являются все точки ветви параболы \( y = \sqrt{x} \), за исключением точки с абсциссой 1.

3) \( f(x) = \frac{x^4 — 3x^2}{x^2 — 3} \).
Данная функция определена при \( x^2 — 3 \neq 0 \).
Отсюда \( x^2 \neq 3 \); \( x \neq -\sqrt{3} \) и \( x \neq \sqrt{3} \).
Следовательно,
\[
D(f) = (-\infty; -\sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3}; \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; +\infty).
\]
Имеем:
\[
\frac{x^4 — 3x^2}{x^2 — 3} = \frac{x^2(x^2 — 3)}{x^2 — 3} = x^2.
\]
Таким образом, графиком данной функции являются все точки параболы \( y = x^2 \), за исключением точек с абсциссами \(-\sqrt{3}\) и \(\sqrt{3}\).

Рассмотрим первую функцию \( f(x) = \frac{x^3 — 4x}{x^2 — 4} \). Для начала важно понять, где эта функция определена, то есть найти область определения. Поскольку функция задана в виде дроби, знаменатель не должен равняться нулю, иначе выражение будет неопределено. Значит, нужно исключить те значения \( x \), при которых \( x^2 — 4 = 0 \). Решая уравнение \( x^2 — 4 = 0 \), получаем \( x = \pm 2 \). Следовательно, функция определена при всех \( x \), кроме \( -2 \) и \( 2 \). Область определения можно записать как объединение трех промежутков: \( (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty) \).

Далее упростим выражение функции. В числителе \( x^3 — 4x \) можно вынести \( x \) за скобки: \( x(x^2 — 4) \). Тогда функция принимает вид \( \frac{x(x^2 — 4)}{x^2 — 4} \). При условии, что знаменатель не равен нулю, можно сократить на \( x^2 — 4 \), получив \( f(x) = x \). Это значит, что для всех значений \( x \) из области определения функция совпадает с прямой \( y = x \), но при \( x = -2 \) и \( x = 2 \) функция не определена, то есть в этих точках на графике будут разрывы.

Графически это выглядит как прямая линия \( y = x \), но с двумя «дырками» в точках \( x = -2 \) и \( x = 2 \). Эти точки исключены из области определения, поэтому на графике они обозначены пустыми кружками, указывающими на разрывы функции в этих местах.

Рассмотрим вторую функцию \( f(x) = \frac{x\sqrt{x} — \sqrt{x}}{x — 1} \). Аналогично, область определения задается условием, что знаменатель не равен нулю, то есть \( x — 1 \neq 0 \), следовательно, \( x \neq 1 \). Также подкоренное выражение \( \sqrt{x} \) требует, чтобы \( x \geq 0 \), так как извлечение корня из отрицательного числа в области действительных чисел невозможно. Таким образом, область определения функции — все \( x \geq 0 \), кроме \( x = 1 \).

Упростим функцию. В числителе можно вынести \( \sqrt{x} \) за скобки: \( \sqrt{x}(x — 1) \). Тогда функция принимает вид \( \frac{\sqrt{x}(x — 1)}{x — 1} \). При \( x \neq 1 \) сокращаем на \( x — 1 \) и получаем \( f(x) = \sqrt{x} \). Это значит, что функция совпадает с ветвью параболы \( y = \sqrt{x} \), но в точке \( x = 1 \) функция не определена, там разрыв.

Графически это кривая, начинающаяся в точке \( x = 0 \) (где \( y = 0 \)) и растущая вправо, но с отсутствующей точкой в \( x = 1 \), что обозначается пустым кружком.

Рассмотрим третью функцию \( f(x) = \frac{x^4 — 3x^2}{x^2 — 3} \). Определим область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю, значит \( x^2 — 3 \neq 0 \), откуда \( x^2 \neq 3 \), то есть \( x \neq \pm \sqrt{3} \). Область определения — все \( x \), кроме \( -\sqrt{3} \) и \( \sqrt{3} \).

Упростим функцию. В числителе выделим общий множитель \( x^2 \): \( x^2(x^2 — 3) \). Тогда функция становится \( \frac{x^2(x^2 — 3)}{x^2 — 3} \). При условии, что знаменатель не равен нулю, сокращаем на \( x^2 — 3 \), получая \( f(x) = x^2 \). Значит, функция совпадает с параболой \( y = x^2 \), но с разрывами в точках \( x = \pm \sqrt{3} \).

Графически это парабола, симметричная относительно оси \( y \), но с двумя пропущенными точками на оси \( x \) в \( -\sqrt{3} \) и \( \sqrt{3} \), которые обозначены пустыми кружками, показывающими, что функция в этих точках не определена.

Таким образом, во всех трех случаях исходные функции можно упростить до простых элементарных функций — прямой, корня и параболы, но с исключениями в отдельных точках, где исходные функции не определены из-за нулевого знаменателя. Эти исключения отражаются на графиках как разрывы. Такие разрывы называются точечными, так как они возникают только в отдельных точках, не затрагивая остальную часть графика.