ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 7 Номер 17 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Постройте график функции \( y = \frac{2x + 1}{2x^2 + x} \) и определите, при каких значениях \( k \) прямая \( y = kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.

\( y = \frac{2x+1}{2x^2 + x} \).

Данная функция определена при \( 2x^2 + x \neq 0 \).

\( 2x^2 + x = 0 \)

\( x(2x + 1) = 0 \)

\( x = 0 \) или \( 2x + 1 = 0 \)

\( 2x = -1 \)

\( x = -0,5 \).

Отсюда \( x \neq -0,5 \) и \( x \neq 0 \).

Следовательно, \( D(f) = (-\infty; -0,5) \cup (-0,5; 0) \cup (0; +\infty) \).

Имеем:
\[
\frac{2x + 1}{2x^2 + x} = \frac{2x + 1}{x(2x + 1)} = \frac{1}{x}.
\]

Таким образом, графиком данной функции являются все точки гиперболы \( y = \frac{1}{x} \), за исключением точки с абсциссой \(-0,5\).

Прямая \( y = kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку, если она проходит через точку \((-0,5; -2)\), то есть, при:

\[
-2 = -0,5k
\]

\[
k = \frac{-2}{-0,5}
\]

\[
k = 4.
\]

\( y = \frac{2x+1}{2x^2 + x} \).

Данная функция определена при \( 2x^2 + x \neq 0 \).

\( 2x^2 + x = 0 \)

\( x(2x + 1) = 0 \)

\( x = 0 \) или \( 2x + 1 = 0 \)

\( 2x = -1 \)

\( x = -0,5 \).

Отсюда \( x \neq -0,5 \) и \( x \neq 0 \).

Следовательно, \( D(f) = (-\infty; -0,5) \cup (-0,5; 0) \cup (0; +\infty) \).

Имеем:
\[
\frac{2x + 1}{2x^2 + x} = \frac{2x + 1}{x(2x + 1)} = \frac{1}{x}.
\]

Таким образом, графиком данной функции являются все точки гиперболы \( y = \frac{1}{x} \), за исключением точки с абсциссой \(-0,5\).

Прямая \( y = kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку, если она проходит через точку \((-0,5; -2)\), то есть, при:

\[
-2 = -0,5k
\]

\[
k = \frac{-2}{-0,5}
\]

\[
k = 4.
\]
Рассмотрим функцию \( y = \frac{2x+1}{2x^2 + x} \). Чтобы понять, при каких значениях \( x \) эта функция определена, необходимо исследовать знаменатель, так как деление на ноль невозможно. Знаменатель — это выражение \( 2x^2 + x \). Приравняем его к нулю: \( 2x^2 + x = 0 \). Вынесем \( x \) за скобки: \( x(2x + 1) = 0 \). Отсюда следует, что \( x = 0 \) или \( 2x + 1 = 0 \). Решая второе уравнение, получаем \( 2x = -1 \), следовательно, \( x = -0,5 \). Таким образом, функция не определена при \( x = 0 \) и \( x = -0,5 \), и область определения функции записывается как объединение интервалов \( (-\infty; -0,5) \cup (-0,5; 0) \cup (0; +\infty) \).

Далее преобразуем выражение функции, чтобы упростить анализ графика. Исходное выражение \( y = \frac{2x+1}{2x^2 + x} \) можно представить как \( y = \frac{2x+1}{x(2x+1)} \), где в числителе и знаменателе есть общий множитель \( 2x+1 \), который можно сократить при условии, что \( 2x+1 \neq 0 \), то есть при \( x \neq -0,5 \). После сокращения получаем \( y = \frac{1}{x} \). Это означает, что график функции совпадает с графиком гиперболы \( y = \frac{1}{x} \), за исключением точки \( x = -0,5 \), где функция не определена из-за исходного выражения.

Рассмотрим теперь прямую \( y = kx \) и выясним, при каких значениях \( k \) эта прямая пересекает график функции ровно в одной точке. Если прямая проходит через точку \( (-0,5; -2) \), то подставим координаты в уравнение прямой: \( -2 = k \cdot (-0,5) \). Отсюда \( k = \frac{-2}{-0,5} = 4 \). Это значит, что при \( k = 4 \) прямая \( y = 4x \) касается графика функции ровно в одной точке, что соответствует касательной к графику гиперболы в этой точке. Таким образом, мы выяснили, что функция \( y = \frac{2x+1}{2x^2 + x} \) имеет область определения с исключениями в точках \( x = 0 \) и \( x = -0,5 \), график функции совпадает с гиперболой \( y = \frac{1}{x} \) за исключением точки \( x = -0,5 \), и прямая \( y = 4x \) пересекает график функции ровно в одной точке.