ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 7 Номер 2 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Заполните таблицу.

Рассмотрим подробнее свойства и особенности функций, представленных в таблице, чтобы глубже понять их поведение, области определения, области значений и графическое представление. Начнем с линейной функции \( y = kx + b \), которая является одной из самых простых и фундаментальных в математике. Область определения этой функции охватывает все вещественные числа, то есть \( (-\infty; +\infty) \), поскольку для любого значения \( x \) можно вычислить соответствующее \( y \). Область значений зависит от коэффициента \( k \): если \( k \neq 0 \), то функция принимает все вещественные значения, то есть \( (-\infty; +\infty) \), так как прямая имеет наклон и пересекает все уровни по оси \( y \). Однако, если \( k = 0 \), функция становится константной \( y = b \), и область значений сводится к единственному числу \( b \). Графически линейная функция представлена прямой линией, где \( k \) определяет угол наклона, а \( b \) — точку пересечения с осью \( y \). Это делает линейные функции удобными для моделирования простых зависимостей, таких как равномерное движение или линейный рост.

Далее перейдем к функции \( y = \frac{k}{x} \), где \( k \neq 0 \), которая представляет собой обратную пропорциональность. Область определения этой функции исключает точку \( x = 0 \), так как деление на ноль невозможно, поэтому она состоит из двух промежутков: \( (-\infty; 0) \) и \( (0; +\infty) \). Область значений также состоит из двух промежутков \( (-\infty; 0) \) и \( (0; +\infty) \), поскольку функция никогда не принимает значение \( y = 0 \), что связано с асимптотическим поведением: при приближении \( x \) к нулю значение \( y \) стремится к бесконечности, а при удалении \( x \) к бесконечности значение \( y \) приближается к нулю. График этой функции представляет собой гиперболу, которая имеет две ветви, расположенные в противоположных координатных четвертях в зависимости от знака \( k \). Если \( k > 0 \), ветви находятся в первой и третьей четвертях, а если \( k < 0 \), то во второй и четвертой. Гипербола отражает обратную зависимость, часто встречающуюся в физике, например, в законе изменения давления и объема газа при постоянной температуре. Асимптоты графика — это оси координат, к которым функция приближается, но никогда не пересекает их, что делает эту функцию особенно интересной для анализа предельного поведения.

Теперь обратим внимание на квадратичную функцию \( y = x^2 \), которая является классическим примером параболической зависимости. Ее область определения — все вещественные числа \( (-\infty; +\infty) \), так как для любого \( x \) можно вычислить квадрат. Область значений начинается с нуля и уходит в положительную бесконечность, то есть \( [0; +\infty) \), поскольку квадрат числа всегда неотрицателен, а минимальное значение достигается при \( x = 0 \). График этой функции — парабола, открытая вверх, с вершиной в точке \( (0, 0) \). Парабола симметрична относительно оси \( y \), и скорость роста функции увеличивается с увеличением абсолютного значения \( x \), что делает ее полезной для описания физических явлений, таких как траектория брошенного объекта под действием гравитации. Кроме того, квадратичные функции часто используются в оптимизационных задачах, где требуется найти минимальное или максимальное значение.

Наконец, рассмотрим функцию \( y = \sqrt{x} \), которая представляет собой корень квадратный из \( x \). Область определения этой функции ограничена неотрицательными значениями \( x \), то есть \( [0; +\infty) \), поскольку корень из отрицательного числа не определен в вещественных числах. Область значений также составляет \( [0; +\infty) \), так как корень квадратный всегда возвращает неотрицательное значение, начиная с \( y = 0 \) при \( x = 0 \) и увеличиваясь по мере роста \( x \). График функции — это ветвь параболы, лежащая в первой четверти, которая начинается в начале координат и плавно возрастает, но с убывающей скоростью роста. Эта функция часто встречается в задачах, связанных с геометрией, например, при вычислении длины диагонали прямоугольника, или в физике, где описывает зависимости, связанные с площадью или энергией. Важно отметить, что производная этой функции стремится к бесконечности при приближении \( x \) к нулю, что отражает резкий рост графика вблизи начала координат, а затем более медленный подъем при больших значениях \( x \). Эти особенности делают функцию корня полезной для анализа нелинейных зависимостей, где важна плавная, но ограниченная динамика роста.