ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 7 Номер 3 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Функция задана формулой f(x) = 4 — 3х^2. Заполните пропуски.
1) f(1) = ____; f (-2) = ____; f (1/3) = ____; f(0) = ____.
2) f(х) = 1 при х = ___ и х = ___
f(х) = -23 при х = ___ и х = ___

1) \( f(1) = 4 — 3 \cdot 1^2 = 4 — 3 \cdot 1 = 4 — 3 = 1 \);
\( f(-2) = 4 — 3 \cdot (-2)^2 = 4 — 3 \cdot 4 = 4 — 12 = -8 \);
\( f(2) = 4 — 3 \cdot (2)^2 = 4 — 3 \cdot 4 = 4 — 12 = -8 \);
\( f(0) = 4 — 3 \cdot 0^2 = 4 — 3 \cdot 0 = 4 — 0 = 4 \).

2) \( f(x) = 1 \) при \( x = -1 \) и \( x = 1 \);
\( 4 — 3x^2 = 1 \);
\( 3x^2 = 4 — 1 \);
\( 3x^2 = 3 \);
\( x^2 = 1 \);
\( x = \pm 1 \).

\( f(x) = -23 \) при \( x = -3 \) и \( x = 3 \);
\( 4 — 3x^2 = -23 \);
\( 3x^2 = 4 + 23 \);
\( 3x^2 = 27 \);
\( x^2 = 9 \);
\( x = \pm 3 \).

1) \( f(1) = 4 — 3 \cdot 1^2 = 4 — 3 \cdot 1 = 4 — 3 = 1 \);
\( f(-2) = 4 — 3 \cdot (-2)^2 = 4 — 3 \cdot 4 = 4 — 12 = -8 \);
\( f(2) = 4 — 3 \cdot (2)^2 = 4 — 3 \cdot 4 = 4 — 12 = -8 \);
\( f(0) = 4 — 3 \cdot 0^2 = 4 — 3 \cdot 0 = 4 — 0 = 4 \).

2) \( f(x) = 1 \) при \( x = -1 \) и \( x = 1 \);
\( 4 — 3x^2 = 1 \);
\( 3x^2 = 4 — 1 \);
\( 3x^2 = 3 \);
\( x^2 = 1 \);
\( x = \pm 1 \).

\( f(x) = -23 \) при \( x = -3 \) и \( x = 3 \);
\( 4 — 3x^2 = -23 \);
\( 3x^2 = 4 + 23 \);
\( 3x^2 = 27 \);
\( x^2 = 9 \);
\( x = \pm 3 \).
В данном задании рассматривается функция \( f(x) = 4 — 3x^2 \), и нам нужно выполнить два пункта: вычислить значения функции в заданных точках и решить уравнения для нахождения значений \( x \), при которых функция принимает определенные значения. Давайте разберем каждый пункт подробно, шаг за шагом, чтобы понять, как производятся вычисления и почему получаются именно такие результаты. Мы начнем с первого пункта, где требуется найти значения функции в конкретных точках, таких как \( x = 1 \), \( x = -2 \), \( x = 2 \) и \( x = 0 \). Для этого мы будем подставлять каждое значение \( x \) в выражение функции \( f(x) = 4 — 3x^2 \), вычислять \( x^2 \), умножать на 3, а затем вычитать полученное значение из 4. Этот процесс довольно прост, но требует внимательности, чтобы избежать арифметических ошибок, особенно при работе с отрицательными числами, где важно правильно учитывать знак при возведении в квадрат.

Итак, для \( x = 1 \): вычисляем \( x^2 = 1^2 = 1 \), затем умножаем на 3, получаем \( 3 \cdot 1 = 3 \), и вычитаем из 4, то есть \( 4 — 3 = 1 \). Таким образом, \( f(1) = 1 \). Далее, для \( x = -2 \): сначала \( x^2 = (-2)^2 = 4 \), умножаем на 3, получаем \( 3 \cdot 4 = 12 \), и вычитаем из 4, то есть \( 4 — 12 = -8 \), значит \( f(-2) = -8 \). Теперь для \( x = 2 \): \( x^2 = 2^2 = 4 \), умножаем на 3, получаем \( 3 \cdot 4 = 12 \), вычитаем из 4, итого \( 4 — 12 = -8 \), то есть \( f(2) = -8 \). Обратите внимание, что значения функции в точках \( x = -2 \) и \( x = 2 \) совпадают, что неудивительно, так как функция \( f(x) = 4 — 3x^2 \) является четной, то есть \( f(-x) = f(x) \), поскольку зависит только от \( x^2 \). Наконец, для \( x = 0 \): \( x^2 = 0^2 = 0 \), умножаем на 3, получаем \( 3 \cdot 0 = 0 \), вычитаем из 4, итого \( 4 — 0 = 4 \), значит \( f(0) = 4 \). Этот пункт показывает, как функция ведет себя в разных точках, и дает представление о ее значениях на числовой оси.

Перейдем ко второму пункту, где нужно найти значения \( x \), приДавайте разберем подробно данную задачу, связанную с функцией \( f(x) = 4 — 3x^2 \), чтобы понять, как вычисляются значения функции в заданных точках и как решаются уравнения для нахождения значений \( x \), при которых функция принимает определенные значения. Мы начнем с вычисления значений функции для конкретных точек, таких как \( x = 1 \), \( x = -2 \), \( x = 2 \) и \( x = 0 \). Для этого подставим каждое значение \( x \) в выражение функции и выполним все арифметические операции шаг за шагом. Например, для \( x = 1 \) мы имеем \( f(1) = 4 — 3 \cdot 1^2 \), где сначала вычисляем \( 1^2 = 1 \), затем умножаем на 3, получая \( 3 \cdot 1 = 3 \), и, наконец, вычитаем из 4, что дает \( 4 — 3 = 1 \). Аналогично для \( x = -2 \): \( f(-2) = 4 — 3 \cdot (-2)^2 \), где \( (-2)^2 = 4 \), затем \( 3 \cdot 4 = 12 \), и \( 4 — 12 = -8 \). Для \( x = 2 \): \( f(2) = 4 — 3 \cdot 2^2 = 4 — 3 \cdot 4 = 4 — 12 = -8 \), а для \( x = 0 \): \( f(0) = 4 — 3 \cdot 0^2 = 4 — 3 \cdot 0 = 4 — 0 = 4 \). Таким образом, мы видим, что значения функции зависят от квадрата \( x \), из-за чего результаты для \( x = 2 \) и \( x = -2 \) совпадают, так как \( 2^2 = (-2)^2 = 4 \).

Теперь перейдем ко второй части задачи, где нужно найти значения \( x \), при которых функция \( f(x) = 4 — 3x^2 \) принимает определенные значения, а именно 1 и -23. Начнем с условия \( f(x) = 1 \). Подставляем это значение в функцию и получаем уравнение \( 4 — 3x^2 = 1 \). Чтобы решить его, вычтем 1 из обеих сторон: \( 4 — 1 — 3x^2 = 0 \), что дает \( 3 — 3x^2 = 0 \), или, перенося \( 3x^2 \) на другую сторону, \( 3x^2 = 3 \). Делим обе стороны на 3 и получаем \( x^2 = 1 \). Извлекая квадратный корень, находим два решения: \( x = 1 \) и \( x = -1 \), поскольку \( 1^2 = 1 \) и \( (-1)^2 = 1 \). Далее рассматриваем второе условие: \( f(x) = -23 \). Подставляем это значение в функцию, получая уравнение \( 4 — 3x^2 = -23 \). Переносим 4 на другую сторону, прибавляя 23: \( -3x^2 = -23 — 4 \), что равно \( -3x^2 = -27 \). Умножаем обе стороны на -1, чтобы избавиться от отрицательного знака перед \( x^2 \), и получаем \( 3x^2 = 27 \). Делим на 3: \( x^2 = 9 \). Извлекая квадратный корень, находим \( x = 3 \) и \( x = -3 \), так как \( 3^2 = 9 \) и \( (-3)^2 = 9 \). Эти шаги показывают, как систематически решать уравнения, связанные с квадратичной функцией, и учитывать оба корня при решении \( x^2 = const \).

Важно понимать, что функция \( f(x) = 4 — 3x^2 \) является параболой, открытой вниз, из-за отрицательного коэффициента при \( x^2 \). Это означает, что она имеет максимум в точке \( x = 0 \), где \( f(0) = 4 \), и значения функции уменьшаются по мере удаления \( x \) от нуля в обе стороны. Поэтому значения функции для симметричных точек, таких как \( x = 2 \) и \( x = -2 \), или \( x = 3 \) и \( x = -3 \), всегда будут одинаковыми, что мы и наблюдаем в результатах вычислений. Кроме того, при решении уравнений \( f(x) = const \) мы всегда получаем два решения (или одно, если константа равна максимуму функции), что является характерной особенностью квадратичных функций. В данном случае для \( f(x) = 1 \) решениями являются \( x = 1 \) и \( x = -1 \), а для \( f(x) = -23 \) — \( x = 3 \) и \( x = -3 \). Эти результаты можно проверить, подставив найденные значения обратно в функцию: например, для \( x = 3 \): \( f(3) = 4 — 3 \cdot 3^2 = 4 — 3 \cdot 9 = 4 — 27 = -23 \), что подтверждает правильность решения. Такой подход позволяет не только найти ответ, но и убедиться в его корректности, а также глубже понять поведение квадратичной функции и методы решения связанных с ней уравнений.