ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 7 Номер 6 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:
1) \( f(x) = \frac{6}{x^2 + 4x} \);
2) \( f(x) = \frac{7x — 1}{x^2 + 6x — 7} \);
3) \( f(x) = \sqrt{3x + 15} + \frac{1}{\sqrt{4x + 20}} \);
4) \( f(x) = \sqrt{x — 11} + \sqrt{11 — x} \);
5) \( f(x) = \sqrt{5x + 4} — \sqrt{2 — 3x} \).

1) \( f(x) = \frac{6}{x^2 + 4x} \)
Область определения данной функции – множество решений неравенства \( x^2 + 4x \neq 0 \).
Решим уравнение \( x^2 + 4x = 0 \).
\( x(x + 4) = 0 \)
\( x = 0 \) или \( x = -4 \).
Имеем: \( x \neq -4 \) и \( x \neq 0 \).
Следовательно, \( D(f) = (-\infty; -4) \cup (-4; 0) \cup (0; +\infty) \).

2) \( f(x) = \frac{7x — 1}{x^2 + 6x — 7} \)
Область определения данной функции – множество решений неравенства \( x^2 + 6x — 7 \neq 0 \).
Решим уравнение \( x^2 + 6x — 7 = 0 \).
\( D = 6^2 — 4 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64 \).
\( x_1 = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-6 + 8}{2} = 1 \);
\( x_2 = \frac{-6 — \sqrt{64}}{2} = \frac{-6 — 8}{2} = -7 \).
Имеем: \( x \neq -7 \) и \( x \neq 1 \).
Следовательно, \( D(f) = (-\infty; -7) \cup (-7; 1) \cup (1; +\infty) \).

3) \( f(x) = \sqrt{3x + 15} + \frac{1}{\sqrt{4x + 20}} \)
Область определения данной функции – множество решений системы неравенств:
\(\begin{cases} 3x + 15 \geq 0 \\ 4x + 20 > 0 \end{cases}\)
или
\(\begin{cases} x \geq -5 \\ x > -5 \end{cases}\)
Следовательно, \( D(f) = (-5; +\infty) \).

4) \( f(x) = \sqrt{x — 11} + \sqrt{11 — x} \)
Область определения данной функции – множество решений системы неравенств:
\(\begin{cases} x — 11 \geq 0 \\ 11 — x \geq 0 \end{cases}\)
или
\(\begin{cases} x \geq 11 \\ x \leq 11 \end{cases}\)
Следовательно, \( D(f) = \{11\} \).

5) \( f(x) = \sqrt{5x + 4} — \sqrt{2 — 3x} \)
Область определения данной функции – множество решений системы неравенств:
\(\begin{cases} 5x + 4 \geq 0 \\ 2 — 3x \geq 0 \end{cases}\)
или
\(\begin{cases} x \geq -\frac{4}{5} \\ x \leq \frac{2}{3} \end{cases}\)
Следовательно, \( D(f) = \left[-\frac{4}{5}; \frac{2}{3}\right] \).

1) \( f(x) = \frac{6}{x^2 + 4x} \)
Область определения данной функции – множество решений неравенства \( x^2 + 4x \neq 0 \).
Решим уравнение \( x^2 + 4x = 0 \).
\( x(x + 4) = 0 \)
\( x = 0 \) или \( x = -4 \).
Имеем: \( x \neq -4 \) и \( x \neq 0 \).
Следовательно, \( D(f) = (-\infty; -4) \cup (-4; 0) \cup (0; +\infty) \).

2) \( f(x) = \frac{7x — 1}{x^2 + 6x — 7} \)
Область определения данной функции – множество решений неравенства \( x^2 + 6x — 7 \neq 0 \).
Решим уравнение \( x^2 + 6x — 7 = 0 \).
\( D = 6^2 — 4 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64 \).
\( x_1 = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-6 + 8}{2} = 1 \);
\( x_2 = \frac{-6 — \sqrt{64}}{2} = \frac{-6 — 8}{2} = -7 \).
Имеем: \( x \neq -7 \) и \( x \neq 1 \).
Следовательно, \( D(f) = (-\infty; -7) \cup (-7; 1) \cup (1; +\infty) \).

3) \( f(x) = \sqrt{3x + 15} + \frac{1}{\sqrt{4x + 20}} \)
Область определения данной функции – множество решений системы неравенств:
\(\begin{cases} 3x + 15 \geq 0 \\ 4x + 20 > 0 \end{cases}\)
или
\(\begin{cases} x \geq -5 \\ x > -5 \end{cases}\)
Следовательно, \( D(f) = (-5; +\infty) \).

4) \( f(x) = \sqrt{x — 11} + \sqrt{11 — x} \)
Область определения данной функции – множество решений системы неравенств:
\(\begin{cases} x — 11 \geq 0 \\ 11 — x \geq 0 \end{cases}\)
или
\(\begin{cases} x \geq 11 \\ x \leq 11 \end{cases}\)
Следовательно, \( D(f) = \{11\} \).

5) \( f(x) = \sqrt{5x + 4} — \sqrt{2 — 3x} \)
Область определения данной функции – множество решений системы неравенств:
\(\begin{cases} 5x + 4 \geq 0 \\ 2 — 3x \geq 0 \end{cases}\)
или
\(\begin{cases} x \geq -\frac{4}{5} \\ x \leq \frac{2}{3} \end{cases}\)
Следовательно, \( D(f) = \left[-\frac{4}{5}; \frac{2}{3}\right] \).

1) Рассмотрим функцию \( f(x) = \frac{6}{x^2 + 4x} \). Область определения функции — это все значения \( x \), при которых знаменатель не равен нулю, так как деление на ноль не определено. Значит, нам нужно найти все \( x \), для которых выражение \( x^2 + 4x \neq 0 \). Для этого сначала решим уравнение \( x^2 + 4x = 0 \), чтобы определить точки, исключаемые из области определения.

Решение уравнения \( x^2 + 4x = 0 \) сводится к разложению на множители: \( x(x + 4) = 0 \). Это уравнение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, то есть при \( x = 0 \) или \( x = -4 \). Эти значения \( x \) нельзя включать в область определения функции, так как в этих точках знаменатель обращается в ноль, и функция не определена.

Следовательно, область определения функции состоит из всех действительных чисел, кроме \( x = 0 \) и \( x = -4 \). Записываем это в виде объединения интервалов: \( D(f) = (-\infty; -4) \cup (-4; 0) \cup (0; +\infty) \). Таким образом, функция определена на всех числах, кроме двух исключений, где знаменатель обращается в ноль.

2) Для функции \( f(x) = \frac{7x — 1}{x^2 + 6x — 7} \) ситуация аналогична: область определения — это множество значений \( x \), при которых знаменатель не равен нулю. Значит, нужно решить неравенство \( x^2 + 6x — 7 \neq 0 \). Для начала решим уравнение \( x^2 + 6x — 7 = 0 \), чтобы найти исключаемые точки.

Дискриминант уравнения равен \( D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64 \). Корни уравнения находятся по формуле: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \), где \( a = 1 \), \( b = 6 \). Подставляя, получаем два корня: \( x_1 = \frac{-6 + 8}{2} = 1 \) и \( x_2 = \frac{-6 — 8}{2} = -7 \). Значит, при \( x = 1 \) и \( x = -7 \) знаменатель равен нулю, и эти значения исключаются из области определения.

Таким образом, область определения функции — все числа, кроме \( -7 \) и \( 1 \). Запишем это в виде объединения интервалов: \( D(f) = (-\infty; -7) \cup (-7; 1) \cup (1; +\infty) \). Функция определена на всех этих интервалах, за исключением точек, где знаменатель обращается в ноль.

3) Функция \( f(x) = \sqrt{3x + 15} + \frac{1}{\sqrt{4x + 20}} \) задается суммой двух выражений, каждое из которых имеет свои ограничения. Первая часть — корень квадратный \( \sqrt{3x + 15} \), определён только при \( 3x + 15 \geq 0 \), так как подкоренное выражение не может быть отрицательным. Вторая часть — дробь с знаменателем \( \sqrt{4x + 20} \), который также должен быть строго положительным, чтобы знаменатель не был равен нулю и корень существовал: \( 4x + 20 > 0 \).

Решая неравенства, получаем: \( 3x + 15 \geq 0 \Rightarrow x \geq -5 \), и \( 4x + 20 > 0 \Rightarrow x > -5 \). Чтобы оба условия выполнялись одновременно, \( x \) должен быть строго больше \( -5 \), так как второе условие строже. Значит, область определения функции — все \( x \), для которых \( x > -5 \).

Итог: \( D(f) = (-5; +\infty) \). В этой области функция корректно определена, так как подкоренные выражения неотрицательны, и знаменатель не равен нулю.

4) Рассмотрим функцию \( f(x) = \sqrt{x — 11} + \sqrt{11 — x} \). Здесь обе части — корни квадратные, для которых подкоренные выражения должны быть неотрицательны. Значит, система условий: \( x — 11 \geq 0 \) и \( 11 — x \geq 0 \).

Первое неравенство даёт \( x \geq 11 \), второе — \( x \leq 11 \). Чтобы одновременно выполнялись оба условия, \( x \) должен равняться \( 11 \). Это единственное значение, при котором функция определена.

Следовательно, область определения функции — множество, состоящее из одного элемента: \( D(f) = \{11\} \).

5) Функция \( f(x) = \sqrt{5x + 4} — \sqrt{2 — 3x} \) содержит два корня квадратных с разными подкоренными выражениями. Для определения области определения нужно, чтобы оба выражения под корнями были неотрицательны: \( 5x + 4 \geq 0 \) и \( 2 — 3x \geq 0 \).

Решая первое неравенство, получаем \( x \geq -\frac{4}{5} \), а второе даёт \( x \leq \frac{2}{3} \). Чтобы одновременно выполнялись оба условия, \( x \) должен находиться в интервале от \( -\frac{4}{5} \) до \( \frac{2}{3} \) включительно.

Итоговая область определения функции: \( D(f) = \left[-\frac{4}{5}; \frac{2}{3}\right] \). В этом промежутке функция корректно определена, так как оба подкоренных выражения неотрицательны, и корни существуют.