ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 7 Номер 9 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Найдите, не выполняя построения, точки пересечения с осями координат графика функции:
1) \( f(x) = \frac{16 + 8x}{2x — 7} \);
2) \( g(x) = 3x^2 — x — 2 \);
3) \( h(x) = \frac{x^2 — 7}{x^2 — 1} \).

1) \( f(x) = \frac{16 + 8x}{2x — 7} \)

Для нахождения координат точки пересечения графика данной функции с осью абсцисс решим уравнение \(\frac{16 + 8x}{2x — 7} = 0\).

Это уравнение равносильно системе:
\[
\begin{cases}
16 + 8x = 0 \\
2x — 7 \neq 0
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
8x = -16 \\
2x \neq 7
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
x = -2 \\
x \neq \frac{7}{2}
\end{cases}
\]

Отсюда имеем \(x = -2\).

Следовательно, график данной функции пересекает ось абсцисс в точке с координатами \((-2; 0)\).

Для нахождения координат точки пересечения графика данной функции с осью ординат найдем значение данной функции при \(x = 0\). Имеем:
\[
f(0) = \frac{16 + 8 \cdot 0}{2 \cdot 0 — 7} = \frac{16}{-7} = -\frac{16}{7}
\]

Следовательно, график данной функции пересекает ось ординат в точке с координатами \(\left(0; -\frac{16}{7}\right)\).

Ответ: \((-2; 0)\) и \(\left(0; -\frac{16}{7}\right)\).

2) \( g(x) = 3x^2 — x — 2 \)

Для нахождения координат точки пересечения графика данной функции с осью абсцисс решим уравнение \(3x^2 — x — 2 = 0\).

Дискриминант:
\[
D = (-1)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25
\]

Корни:
\[
x_1 = \frac{1 — \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1 — 5}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}
\]
\[
x_2 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1 + 5}{6} = \frac{6}{6} = 1
\]

Отсюда имеем \(x = -\frac{2}{3}\) и \(x = 1\).

Следовательно, график данной функции пересекает ось абсцисс в точках с координатами \(\left(-\frac{2}{3}; 0\right)\) и \((1; 0)\).

Для нахождения координат точки пересечения графика данной функции с осью ординат найдем значение данной функции при \(x = 0\):
\[
g(0) = 3 \cdot 0^2 — 0 — 2 = -2
\]

Следовательно, график данной функции пересекает ось ординат в точке с координатами \((0; -2)\).

Ответ: \(\left(-\frac{2}{3}; 0\right)\), \((1; 0)\) и \((0; -2)\).

3) \( h(x) = \frac{x^2 — 7}{x^2 — 1} \)

Для нахождения координат точки пересечения графика данной функции с осью абсцисс решим уравнение \(\frac{x^2 — 7}{x^2 — 1} = 0\).

Это уравнение равносильно системе:
\[
\begin{cases}
x^2 — 7 = 0 \\
x^2 — 1 \neq 0
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
x^2 = 7 \\
x^2 \neq 1
\end{cases}
\Rightarrow
x = \pm \sqrt{7}, \quad x \neq \pm 1
\]

Отсюда имеем \(x = -\sqrt{7}\) и \(x = \sqrt{7}\).

Следовательно, график данной функции пересекает ось абсцисс в точках с координатами \(\left(-\sqrt{7}; 0\right)\) и \(\left(\sqrt{7}; 0\right)\).

Для нахождения координат точки пересечения графика данной функции с осью ординат найдем значение данной функции при \(x = 0\):
\[
h(0) = \frac{0^2 — 7}{0^2 — 1} = \frac{-7}{-1} = 7
\]

Следовательно, график данной функции пересекает ось ординат в точке с координатами \((0; 7)\).

Ответ: \(\left(-\sqrt{7}; 0\right)\), \(\left(\sqrt{7}; 0\right)\) и \((0; 7)\).

1) \( f(x) = \frac{16 + 8x}{2x — 7} \)

Для нахождения координат точки пересечения графика данной функции с осью абсцисс решим уравнение \(\frac{16 + 8x}{2x — 7} = 0\).

Это уравнение равносильно системе:
\[
\begin{cases}
16 + 8x = 0 \\
2x — 7 \neq 0
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
8x = -16 \\
2x \neq 7
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
x = -2 \\
x \neq \frac{7}{2}
\end{cases}
\]

Отсюда имеем \(x = -2\).

Следовательно, график данной функции пересекает ось абсцисс в точке с координатами \((-2; 0)\).

Для нахождения координат точки пересечения графика данной функции с осью ординат найдем значение данной функции при \(x = 0\). Имеем:
\[
f(0) = \frac{16 + 8 \cdot 0}{2 \cdot 0 — 7} = \frac{16}{-7} = -\frac{16}{7}
\]

Следовательно, график данной функции пересекает ось ординат в точке с координатами \(\left(0; -\frac{16}{7}\right)\).

Ответ: \((-2; 0)\) и \(\left(0; -\frac{16}{7}\right)\).

2) \( g(x) = 3x^2 — x — 2 \)

Для нахождения координат точки пересечения графика данной функции с осью абсцисс решим уравнение \(3x^2 — x — 2 = 0\).

Дискриминант:
\[
D = (-1)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25
\]

Корни:
\[
x_1 = \frac{1 — \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1 — 5}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}
\]
\[
x_2 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1 + 5}{6} = \frac{6}{6} = 1
\]

Отсюда имеем \(x = -\frac{2}{3}\) и \(x = 1\).

Следовательно, график данной функции пересекает ось абсцисс в точках с координатами \(\left(-\frac{2}{3}; 0\right)\) и \((1; 0)\).

Для нахождения координат точки пересечения графика данной функции с осью ординат найдем значение данной функции при \(x = 0\):
\[
g(0) = 3 \cdot 0^2 — 0 — 2 = -2
\]

Следовательно, график данной функции пересекает ось ординат в точке с координатами \((0; -2)\).

Ответ: \(\left(-\frac{2}{3}; 0\right)\), \((1; 0)\) и \((0; -2)\).

3) \( h(x) = \frac{x^2 — 7}{x^2 — 1} \)

Для нахождения координат точки пересечения графика данной функции с осью абсцисс решим уравнение \(\frac{x^2 — 7}{x^2 — 1} = 0\).

Это уравнение равносильно системе:
\[
\begin{cases}
x^2 — 7 = 0 \\
x^2 — 1 \neq 0
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
x^2 = 7 \\
x^2 \neq 1
\end{cases}
\Rightarrow
x = \pm \sqrt{7}, \quad x \neq \pm 1
\]

Отсюда имеем \(x = -\sqrt{7}\) и \(x = \sqrt{7}\).

Следовательно, график данной функции пересекает ось абсцисс в точках с координатами \(\left(-\sqrt{7}; 0\right)\) и \(\left(\sqrt{7}; 0\right)\).

Для нахождения координат точки пересечения графика данной функции с осью ординат найдем значение данной функции при \(x = 0\):
\[
h(0) = \frac{0^2 — 7}{0^2 — 1} = \frac{-7}{-1} = 7
\]

Следовательно, график данной функции пересекает ось ординат в точке с координатами \((0; 7)\).

Ответ: \(\left(-\sqrt{7}; 0\right)\), \(\left(\sqrt{7}; 0\right)\) и \((0; 7)\).
Рассмотрим функцию \( f(x) = \frac{16 + 8x}{2x — 7} \). Чтобы найти точки пересечения графика с осью абсцисс, нужно определить значения \( x \), при которых функция равна нулю. Поскольку функция задана в виде дроби, равенство нулю достигается тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Запишем это условие как систему уравнений: \( 16 + 8x = 0 \) и \( 2x — 7 \neq 0 \). Решая первое уравнение, получаем \( 8x = -16 \), откуда \( x = -2 \). Проверяем, не нарушается ли условие знаменателя: \( 2 \cdot (-2) — 7 = -4 — 7 = -11 \neq 0 \), значит, точка допустима.

Таким образом, функция пересекает ось абсцисс в точке с координатой \( x = -2 \). Значение функции в этой точке равно нулю, значит координаты точки пересечения: \( (-2; 0) \). Следующий шаг — найти точку пересечения с осью ординат. Для этого подставим \( x = 0 \) в функцию: \( f(0) = \frac{16 + 8 \cdot 0}{2 \cdot 0 — 7} = \frac{16}{-7} = -\frac{16}{7} \). Это означает, что график функции пересекает ось ординат в точке \( \left(0; -\frac{16}{7}\right) \).

Важно отметить, что при работе с рациональными функциями необходимо всегда проверять область определения: знаменатель не должен обращаться в ноль, так как в таких точках функция не определена. В данном случае \( 2x — 7 = 0 \Rightarrow x = \frac{7}{2} \), и при этом значении функция не существует. Поэтому при нахождении точек пересечения с осями следует исключать такие значения, чтобы не получить ложные решения. Итоговый результат по функции \( f(x) \) — пересечения с осями в точках \( (-2; 0) \) и \( \left(0; -\frac{16}{7}\right) \).