ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 8 Номер 11 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

11. Постройте график функции \( f(x) = \begin{cases} \frac{3}{x}, \text{ если } x \leq -3; \\ x + 2, \text{ если } -3 < x \leq 0; \\ 2 — x, \text{ если } 0 < x \leq 1; \\ \sqrt{x}, \text{ если } x > 1. \end{cases} \) Используя график, заполните пропуски.

1) \( f(x) = 0 \) при ________________.

2) \( f(x) < 0 \) при ________________.

3) \( f(x) > 0 \) при ________________.

4) Функция возрастает на ________________.

5) Функция убывает на ________________.

\( f(x) = \begin{cases}
\frac{3}{x}, & \text{если } x \leq -3 \\
x + 2, & \text{если } -3 < x \leq 0 \\ 2 - x, & \text{если } 0 < x \leq 1 \\ \sqrt{x}, & \text{если } x > 1
\end{cases} \)

\( y = \frac{3}{x}, \text{ если } x \leq -3; \)

\( y = 2 — x, \text{ если } 0 < x \leq 1; \)

\( y = x + 2, \text{ если } -3 < x \leq 0; \)

\( y = \sqrt{x}, \text{ если } x > 1; \)

1) \( f(x) = 0 \) при \( x = -2 \).

2) \( f(x) < 0 \) при \( x \in (-\infty; -2) \). 3) \( f(x) > 0 \) при \( x \in (-2; +\infty) \).

4) Функция возрастает на каждом из промежутков \([-3; 0] \cup [1; +\infty)\).

5) Функция убывает на каждом из промежутков \((-\infty; -3] \cup [0; 1]\).

\( f(x) = \begin{cases}
\frac{3}{x}, & \text{если } x \leq -3 \\
x + 2, & \text{если } -3 < x \leq 0 \\ 2 - x, & \text{если } 0 < x \leq 1 \\ \sqrt{x}, & \text{если } x > 1
\end{cases} \)

\( y = \frac{3}{x}, \text{ если } x \leq -3; \)

\( y = 2 — x, \text{ если } 0 < x \leq 1; \)

\( y = x + 2, \text{ если } -3 < x \leq 0; \)

\( y = \sqrt{x}, \text{ если } x > 1; \)

1) \( f(x) = 0 \) при \( x = -2 \).

2) \( f(x) < 0 \) при \( x \in (-\infty; -2) \). 3) \( f(x) > 0 \) при \( x \in (-2; +\infty) \).

4) Функция возрастает на каждом из промежутков \([-3; 0] \cup [1; +\infty)\).

5) Функция убывает на каждом из промежутков \((-\infty; -3] \cup [0; 1]\).

Функция \( f(x) \) задана кусочно, то есть для разных интервалов \( x \) она определяется разными выражениями. Рассмотрим каждый кусок функции подробнее, чтобы понять её поведение и свойства.

Для \( x \leq -3 \) функция задана формулой \( f(x) = \frac{3}{x} \). Это дробно-рациональная функция, которая убывает при движении слева направо в этом интервале. Значения \( f(x) \) здесь отрицательны, так как числитель положителен, а знаменатель отрицателен. Например, при \( x = -6 \) значение функции \( f(-6) = \frac{3}{-6} = -0,5 \), а при \( x = -3 \) значение \( f(-3) = \frac{3}{-3} = -1 \). Видно, что функция убывает, так как при увеличении \( x \) (от -6 к -3) значение функции становится меньше (от -0,5 к -1).

На промежутке \( -3 < x \leq 0 \) функция определяется линейной формулой \( f(x) = x + 2 \). Эта функция возрастает, так как коэффициент при \( x \) положительный (1). При \( x = -2 \) значение функции \( f(-2) = -2 + 2 = 0 \), что соответствует нулю функции. При \( x = 0 \) значение \( f(0) = 0 + 2 = 2 \). Таким образом, на этом промежутке функция проходит от отрицательных значений к положительным, переходя через ноль при \( x = -2 \). Это важный момент, так как здесь меняется знак функции.

Для \( 0 < x \leq 1 \) функция задана формулой \( f(x) = 2 — x \). Это убывающая линейная функция, так как коэффициент при \( x \) отрицательный (-1). При \( x = 0,5 \) значение функции \( f(0,5) = 2 — 0,5 = 1,5 \), а при \( x = 1 \) значение \( f(1) = 2 — 1 = 1 \). Функция уменьшается на этом интервале, что показывает спад значений после предыдущего роста.

Наконец, для \( x > 1 \) функция определяется как \( f(x) = \sqrt{x} \). Это возрастающая функция, так как корень квадратный растёт с увеличением \( x \). Например, при \( x = 4 \), \( f(4) = 2 \), а при \( x = 9 \), \( f(9) = 3 \). Таким образом, функция снова начинает возрастать после спада на предыдущем интервале.

Исходя из анализа, можно сделать следующие выводы:

1) Функция равна нулю при \( x = -2 \), так как именно здесь \( f(x) = x + 2 = 0 \).

2) На интервале \( (-\infty; -2) \) функция отрицательна, так как на этом промежутке дробно-рациональная часть даёт отрицательные значения.

3) Для \( x \in (-2; +\infty) \) функция положительна, так как на оставшихся интервалах значения функции \( f(x) \) положительны.

4) Функция возрастает на интервалах \( [-3; 0] \cup [1; +\infty) \). Это связано с тем, что на промежутке \( -3 < x \leq 0 \) функция \( x + 2 \) растёт, а на \( x > 1 \) функция \( \sqrt{x} \) также растёт.

5) Функция убывает на интервалах \( (-\infty; -3] \cup [0; 1] \). Это объясняется убыванием дробной функции на первом интервале и линейной функции \( 2 — x \) на втором.

Таким образом, функция \( f(x) \) имеет сложное поведение, меняющееся в зависимости от области определения, и её анализ требует рассмотрения каждого куска отдельно. Такое кусочно-заданное определение позволяет описать функцию с разными свойствами на разных участках числовой оси.