Рабочая тетрадь по алгебре для 9 класса под редакцией Аркадия Мерзляка и Виталия Полонского — это практическое учебное пособие, полностью соответствующее Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС). Она разработана для систематизации и закрепления знаний, полученных на уроках алгебры, и помогает школьникам глубже понять основные математические понятия.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 8 Номер 12 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы
При каких значениях a функция \( y = x^2 — 2(a+1)x + a^2 — 3 = 0 \) имеет два нуля?
\( y = x^2 — 2(a + 1)x + a^2 — 3 = 0. \)
Решим уравнение:
\( x^2 — 2(a + 1)x + a^2 — 3 = 0 \)
\( D = (2(a + 1))^2 — 4(a^2 — 3) = (2a + 2)^2 — 4a^2 + 12 = 4a^2 + 8a + 4 -\)
\(- 4a^2 + 12 = 8a + 16. \)
Квадратное уравнение имеет два корня, если \( D > 0. \)
Тогда:
\( 8a + 16 > 0 \)
\( 8a > -16 \)
\( a > -2. \)
Ответ: при \( a > -2. \)
\( y = x^2 — 2(a + 1)x + a^2 — 3 = 0. \)
Решим уравнение:
\( x^2 — 2(a + 1)x + a^2 — 3 = 0 \)
\( D = (2(a + 1))^2 — 4(a^2 — 3) = (2a + 2)^2 — 4a^2 + 12 = 4a^2 + 8a + 4 -\)
\(- 4a^2 + 12 = 8a + 16. \)
Квадратное уравнение имеет два корня, если \( D > 0. \)
Тогда:
\( 8a + 16 > 0 \)
\( 8a > -16 \)
\( a > -2. \)
Ответ: при \( a > -2. \)
Рассмотрим уравнение \( y = x^2 — 2(a + 1)x + a^2 — 3 = 0 \). Это квадратное уравнение относительно переменной \( x \), где коэффициенты зависят от параметра \( a \). Чтобы понять, при каких значениях \( a \) уравнение имеет два различных корня, нужно воспользоваться понятием дискриминанта.
Дискриминант квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) вычисляется по формуле \( D = b^2 — 4ac \). В нашем случае \( a = 1 \), \( b = -2(a + 1) \), \( c = a^2 — 3 \). Подставим эти значения в формулу дискриминанта:
\( D = (-2(a + 1))^2 — 4 \cdot 1 \cdot (a^2 — 3) = (2(a + 1))^2 — 4(a^2 — 3) \).
Раскроем скобки и упростим выражение:
\( (2(a + 1))^2 = (2a + 2)^2 = 4a^2 + 8a + 4 \),
\( -4(a^2 — 3) = -4a^2 + 12 \).
Сложим эти части:
\( D = 4a^2 + 8a + 4 — 4a^2 + 12 = 8a + 16 \).
Для того чтобы уравнение имело два различных корня, дискриминант должен быть строго положительным, то есть \( D > 0 \). Подставим выражение для \( D \):
\( 8a + 16 > 0 \).
Решим неравенство:
\( 8a > -16 \),
\( a > -2 \).
Таким образом, условие \( a > -2 \) гарантирует, что дискриминант положителен, а значит уравнение имеет два различных корня. Если \( a = -2 \), дискриминант равен нулю, и уравнение имеет один корень (кратный), а при \( a < -2 \) дискриминант отрицателен, и корней нет в множестве действительных чисел. Итог: для \( a > -2 \) уравнение \( y = x^2 — 2(a + 1)x + a^2 — 3 = 0 \) обладает двумя различными действительными корнями.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.