ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 8 Номер 16 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что функция \( f(x) = \frac{8}{2-x} \) возрастает на промежутке \( (2; +\infty) \).

\( f(x) = \frac{8}{2-x} \) возрастает на промежутке \( (2; +\infty) \).

Пусть \( x_1 \) и \( x_2 \) — произвольные значения аргумента, принадлежащие промежутку \( (2; +\infty) \), причем \( x_2 > x_1 \).

Рассмотрим разность \( f(x_2) — f(x_1) \).

Имеем:

\( f(x_2) — f(x_1) = \frac{8}{2 — x_2} — \frac{8}{2 — x_1} = \frac{8(2 — x_1) — 8(2 — x_2)}{(2 — x_2)(2 — x_1)} = \frac{16 — 8x_1 — 16 + 8x_2}{(2 — x_2)(2 — x_1)}=\)
\( = \frac{8x_2 — 8x_1}{(2 — x_2)(2 — x_1)} = \frac{8(x_2 — x_1)}{(2 — x_2)(2 — x_1)} \).

Поскольку \( x_2 \in (2; +\infty) \) и \( x_1 \in (2; +\infty) \), то \( 2 — x_2 < 0 \), \( 2 - x_1 < 0 \). Поскольку \( x_2 > x_1 \), то \( x_2 — x_1 > 0 \).

Следовательно,

\( \frac{8(x_2 — x_1)}{(2 — x_2)(2 — x_1)} > 0 \);

\( f(x_2) — f(x_1) > 0 \);

\( f(x_2) > f(x_1) \),

то есть данная функция возрастает на промежутке \( (2; +\infty) \).

\( f(x) = \frac{8}{2-x} \) возрастает на промежутке \( (2; +\infty) \).

Пусть \( x_1 \) и \( x_2 \) — произвольные значения аргумента, принадлежащие промежутку \( (2; +\infty) \), причем \( x_2 > x_1 \).

Рассмотрим разность \( f(x_2) — f(x_1) \).

Имеем:

\( f(x_2) — f(x_1) = \frac{8}{2 — x_2} — \frac{8}{2 — x_1} = \frac{8(2 — x_1) — 8(2 — x_2)}{(2 — x_2)(2 — x_1)} = \frac{16 — 8x_1 — 16 + 8x_2}{(2 — x_2)(2 — x_1)}=\)
\( = \frac{8x_2 — 8x_1}{(2 — x_2)(2 — x_1)} = \frac{8(x_2 — x_1)}{(2 — x_2)(2 — x_1)} \).

Поскольку \( x_2 \in (2; +\infty) \) и \( x_1 \in (2; +\infty) \), то \( 2 — x_2 < 0 \), \( 2 - x_1 < 0 \). Поскольку \( x_2 > x_1 \), то \( x_2 — x_1 > 0 \).

Следовательно,

\( \frac{8(x_2 — x_1)}{(2 — x_2)(2 — x_1)} > 0 \);

\( f(x_2) — f(x_1) > 0 \);

\( f(x_2) > f(x_1) \),

то есть данная функция возрастает на промежутке \( (2; +\infty) \).
Функция \( f(x) = \frac{8}{2-x} \) задана на промежутке \( (2; +\infty) \). Чтобы доказать, что она возрастает на этом промежутке, рассмотрим два произвольных значения аргумента \( x_1 \) и \( x_2 \), принадлежащих этому промежутку, при этом \( x_2 > x_1 \). Это значит, что оба числа больше 2 и \( x_2 \) расположено правее \( x_1 \) на числовой оси. Нам нужно показать, что при таких условиях значение функции в точке \( x_2 \) больше значения функции в точке \( x_1 \), то есть \( f(x_2) > f(x_1) \).

Для этого рассмотрим разность значений функции в этих точках: \( f(x_2) — f(x_1) \). Подставим выражение функции:

\( f(x_2) — f(x_1) = \frac{8}{2 — x_2} — \frac{8}{2 — x_1} \).

Чтобы упростить эту разность, приведём её к общему знаменателю:

\( f(x_2) — f(x_1) = \frac{8(2 — x_1) — 8(2 — x_2)}{(2 — x_2)(2 — x_1)} \).

Раскроем скобки в числителе:

\( 8(2 — x_1) — 8(2 — x_2) = 16 — 8x_1 — 16 + 8x_2 = 8x_2 — 8x_1 \).

Таким образом, разность принимает вид:

\( f(x_2) — f(x_1) = \frac{8x_2 — 8x_1}{(2 — x_2)(2 — x_1)} = \frac{8(x_2 — x_1)}{(2 — x_2)(2 — x_1)} \).

Теперь проанализируем знак числителя и знаменателя. Числитель \( 8(x_2 — x_1) \) положителен, так как \( 8 > 0 \) и \( x_2 — x_1 > 0 \) по условию. Что касается знаменателя, так как \( x_1 > 2 \) и \( x_2 > 2 \), то каждое из выражений \( 2 — x_1 \) и \( 2 — x_2 \) отрицательно. Произведение двух отрицательных чисел положительно, значит знаменатель тоже положителен.

Отсюда следует, что дробь \( \frac{8(x_2 — x_1)}{(2 — x_2)(2 — x_1)} \) положительна, то есть

\( f(x_2) — f(x_1) > 0 \).

Это доказывает, что при \( x_2 > x_1 \) функция \( f \) принимает большее значение в точке \( x_2 \), чем в точке \( x_1 \). Следовательно, функция \( f(x) = \frac{8}{2-x} \) строго возрастает на интервале \( (2; +\infty) \). Таким образом, мы убедились, что для любых двух точек на этом промежутке функция ведёт себя монотонно возрастающе, что и требовалось доказать.