ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 8 Номер 18 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что функция \(f(x) = x^2 + 4x\) убывает на промежутке \((-\infty; -2]\).

\(f(x) = x^2 + 4x\) убывает на промежутке \((-\infty; -2]\).

Пусть \(x_1\) и \(x_2\) — произвольные значения аргумента, принадлежащие промежутку \((-\infty; -2]\), причем \(x_2 > x_1\). Рассмотрим разность \(f(x_2) — f(x_1)\).

Имеем:
\(f(x_2) — f(x_1) = (x_2^2 + 4x_2) — (x_1^2 + 4x_1) = x_2^2 + 4x_2 — x_1^2 — 4x_1 =\)
\(= (x_2^2 — x_1^2) + (4x_2 — 4x_1) = (x_2 — x_1)(x_2 + x_1) + 4(x_2 — x_1) =\)
\(= (x_2 — x_1)(x_2 + x_1 + 4)\).

Поскольку \(x_1 \in (-\infty; -2]\), \(x_2 \in (-\infty; -2]\) и \(x_2 > x_1\), то \(x_1 < -2\), \(x_2 \leq -2\). Тогда \(x_1 + x_2 < -4\), следовательно, \(x_1 + x_2 + 4 < 0\). Поскольку \(x_2 > x_1\), то \(x_2 — x_1 > 0\).

Тогда \((x_2 — x_1)(x_2 + x_1 + 4) < 0\). Следовательно, \(f(x_2) - f(x_1) < 0\); то есть \(f(x_2) < f(x_1)\), то есть данная функция убывает на промежутке \((-\infty; -2]\).

\(f(x) = x^2 + 4x\) убывает на промежутке \((-\infty; -2]\).

Пусть \(x_1\) и \(x_2\) — произвольные значения аргумента, принадлежащие промежутку \((-\infty; -2]\), причем \(x_2 > x_1\). Рассмотрим разность \(f(x_2) — f(x_1)\).

Имеем:
\(f(x_2) — f(x_1) = (x_2^2 + 4x_2) — (x_1^2 + 4x_1) = x_2^2 + 4x_2 — x_1^2 — 4x_1 =\)
\(= (x_2^2 — x_1^2) + (4x_2 — 4x_1) = (x_2 — x_1)(x_2 + x_1) + 4(x_2 — x_1) =\)
\(= (x_2 — x_1)(x_2 + x_1 + 4)\).

Поскольку \(x_1 \in (-\infty; -2]\), \(x_2 \in (-\infty; -2]\) и \(x_2 > x_1\), то \(x_1 < -2\), \(x_2 \leq -2\). Тогда \(x_1 + x_2 < -4\), следовательно, \(x_1 + x_2 + 4 < 0\). Поскольку \(x_2 > x_1\), то \(x_2 — x_1 > 0\).

Тогда \((x_2 — x_1)(x_2 + x_1 + 4) < 0\). Следовательно, \(f(x_2) - f(x_1) < 0\); то есть \(f(x_2) < f(x_1)\), то есть данная функция убывает на промежутке \((-\infty; -2]\). Рассмотрим функцию \(f(x) = x^2 + 4x\) и докажем, что она убывает на промежутке \((-\infty; -2]\). Для этого возьмём любые два значения \(x_1\) и \(x_2\) из этого промежутка, такие что \(x_2 > x_1\). Нам нужно показать, что при таком условии значение функции при \(x_2\) меньше значения при \(x_1\), то есть \(f(x_2) < f(x_1)\). Это и будет означать, что функция убывает на данном интервале. Для начала вычислим разность значений функции в точках \(x_2\) и \(x_1\): \(f(x_2) - f(x_1) = (x_2^2 + 4x_2) - (x_1^2 + 4x_1)\). Раскроем скобки: \(= x_2^2 + 4x_2 - x_1^2 - 4x_1\). Теперь сгруппируем слагаемые: \(= (x_2^2 - x_1^2) + 4(x_2 - x_1)\). Заметим, что разность квадратов можно представить как произведение: \(x_2^2 - x_1^2 = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1)\). Подставим это обратно: \(f(x_2) - f(x_1) = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1) + 4(x_2 - x_1) = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1 + 4)\). Теперь рассмотрим знак каждого множителя. По условию \(x_2 > x_1\), значит \(x_2 — x_1 > 0\). Оба \(x_1\) и \(x_2\) лежат в промежутке \((-\infty; -2]\), то есть \(x_1 < -2\) и \(x_2 \leq -2\). Следовательно, сумма \(x_1 + x_2 < -4\), так как сумма двух чисел, каждое из которых меньше или равно \(-2\), будет строго меньше \(-4\). Тогда \(x_2 + x_1 + 4 < 0\). Итак, первый множитель положителен, а второй — отрицателен. Произведение положительного и отрицательного числа отрицательно, то есть \(f(x_2) - f(x_1) = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1 + 4) < 0\). Это означает, что \(f(x_2) < f(x_1)\), и функция действительно убывает на промежутке \((-\infty; -2]\). Таким образом, мы доказали, что для любых \(x_1, x_2 \in (-\infty; -2]\) с \(x_2 > x_1\) выполняется неравенство \(f(x_2) < f(x_1)\). Это и есть определение убывания функции на данном промежутке. Важно отметить, что ключевым шагом было разложение разности значений функции на произведение двух множителей и анализ их знаков с учётом заданного интервала. Такой метод позволяет наглядно понять поведение функции и убедиться в её монотонности на указанном участке.