ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 8 Номер 19 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что функция \( f(x) = 8x — x^2 \) возрастает на промежутке \((-\infty; 4]\).

\( f(x) = 8x — x^2 \) возрастает на промежутке \((-\infty; 4]\).
Пусть \( x_1 \) и \( x_2 \) — произвольные значения аргумента, принадлежащие промежутку \((-\infty; 4]\), причём \( x_2 > x_1 \).
Рассмотрим разность \( f(x_2) — f(x_1) \).
Имеем:
\( f(x_2) — f(x_1) = (8x_2 — x_2^2) — (8x_1 — x_1^2) = 8x_2 — x_2^2 — 8x_1 + x_1^2 =\)
\(= (x_1^2 — x_2^2) — (8x_1 — 8x_2) = (x_1 — x_2)(x_1 + x_2) — 8(x_1 — x_2)=\)
\( = (x_1 — x_2)(x_1 + x_2 — 8). \)

Поскольку \( x_1 \in (-\infty; 4] \), \( x_2 \in (-\infty; 4] \) и \( x_2 > x_1 \), то \( x_1 < 4 \), \( x_2 \leq 4 \). Тогда \( x_1 + x_2 < 8 \), значит \( x_1 + x_2 - 8 < 0 \). Поскольку \( x_2 > x_1 \), то \( x_1 — x_2 < 0 \). Тогда \( (x_1 - x_2)(x_1 + x_2 - 8) > 0 \).
Следовательно, \( f(x_2) — f(x_1) > 0 \); \( f(x_2) > f(x_1) \),
то есть данная функция возрастает на промежутке \((-\infty; 4]\).

\( f(x) = 8x — x^2 \) возрастает на промежутке \((-\infty; 4]\).
Пусть \( x_1 \) и \( x_2 \) — произвольные значения аргумента, принадлежащие промежутку \((-\infty; 4]\), причём \( x_2 > x_1 \).
Рассмотрим разность \( f(x_2) — f(x_1) \).
Имеем:
\( f(x_2) — f(x_1) = (8x_2 — x_2^2) — (8x_1 — x_1^2) = 8x_2 — x_2^2 — 8x_1 + x_1^2 =\)
\(= (x_1^2 — x_2^2) — (8x_1 — 8x_2) = (x_1 — x_2)(x_1 + x_2) — 8(x_1 — x_2)=\)
\( = (x_1 — x_2)(x_1 + x_2 — 8). \)

Поскольку \( x_1 \in (-\infty; 4] \), \( x_2 \in (-\infty; 4] \) и \( x_2 > x_1 \), то \( x_1 < 4 \), \( x_2 \leq 4 \). Тогда \( x_1 + x_2 < 8 \), значит \( x_1 + x_2 - 8 < 0 \). Поскольку \( x_2 > x_1 \), то \( x_1 — x_2 < 0 \). Тогда \( (x_1 - x_2)(x_1 + x_2 - 8) > 0 \).
Следовательно, \( f(x_2) — f(x_1) > 0 \); \( f(x_2) > f(x_1) \),
то есть данная функция возрастает на промежутке \((-\infty; 4]\).
Функция \( f(x) = 8x — x^2 \) задана на промежутке \((-\infty; 4]\). Чтобы доказать, что она возрастает на этом промежутке, рассмотрим два произвольных значения аргумента \( x_1 \) и \( x_2 \), принадлежащих этому промежутку, при этом \( x_2 > x_1 \). Возрастание функции означает, что при увеличении аргумента значение функции не убывает, то есть \( f(x_2) > f(x_1) \). Для этого рассмотрим разность \( f(x_2) — f(x_1) \) и покажем, что она положительна.

Подставим выражения для функции:
\( f(x_2) — f(x_1) = (8x_2 — x_2^2) — (8x_1 — x_1^2) \).
Раскроем скобки:
\( = 8x_2 — x_2^2 — 8x_1 + x_1^2 \).
Перегруппируем слагаемые:
\( = (x_1^2 — x_2^2) — (8x_1 — 8x_2) \).
Заметим, что \( x_1^2 — x_2^2 \) можно представить как разность квадратов:
\( x_1^2 — x_2^2 = (x_1 — x_2)(x_1 + x_2) \).
Также \( 8x_1 — 8x_2 = 8(x_1 — x_2) \).
Подставим обратно:
\( f(x_2) — f(x_1) = (x_1 — x_2)(x_1 + x_2) — 8(x_1 — x_2) = (x_1 — x_2)(x_1 + x_2 — 8) \).

Теперь проанализируем знак каждого множителя. Поскольку \( x_2 > x_1 \), разность \( x_1 — x_2 \) отрицательна, то есть
\( x_1 — x_2 < 0 \). Аргументы \( x_1 \) и \( x_2 \) принадлежат промежутку \((-\infty; 4]\), значит \( x_1 \leq 4 \) и \( x_2 \leq 4 \), следовательно сумма \( x_1 + x_2 \leq 8 \). Это значит, что \( x_1 + x_2 - 8 \leq 0 \). Таким образом, первый множитель отрицателен, а второй — не положителен. Произведение двух отрицательных чисел положительно, поэтому \( (x_1 - x_2)(x_1 + x_2 - 8) > 0 \).
Из этого следует, что
\( f(x_2) — f(x_1) > 0 \),
то есть \( f(x_2) > f(x_1) \). Значит функция \( f(x) = 8x — x^2 \) строго возрастает на промежутке \((-\infty; 4]\).

Этот вывод можно дополнительно проиллюстрировать с помощью производной функции:
\( f'(x) = 8 — 2x \).
На промежутке \((-\infty; 4]\) производная неотрицательна, так как при \( x \leq 4 \)
\( 8 — 2x \geq 0 \),
что также подтверждает возрастание функции на данном промежутке.