ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 8 Номер 5 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

5. Найдите нули функции:
1) \( y = 0,4x + 6 \);
2) \( y = 24 — 2x — x^2 \);
3) \( y = \sqrt{x^2 — 3x} \);
4) \( y = x^3 — 2x^2 — x + 2 \);
5) \( y = \frac{x^2 + 4}{x} \);
5) \( y = \frac{x^2 + x — 12}{x — 3} \).

1) \( y = 0,4x + 6 \). Чтобы найти нули функции, решим уравнение:
\(0,4x + 6 = 0\)
\(0,4x = -6\)
\(x = \frac{-6}{0,4}\)
\(x = -15\).
Ответ: \(x = -15\).

2) \( y = 24 — 2x — x^2 \). Чтобы найти нули функции, решим уравнение:
\(24 — 2x — x^2 = 0\)
\(-x^2 — 2x + 24 = 0\)
Дискриминант:
\(D = 4 + 4 \cdot 24 = 4 + 96 = 100\).
Корни:
\(x_1 = \frac{2 — \sqrt{100}}{-2} = \frac{2 — 10}{-2} = \frac{-8}{-2} = 4\);
\(x_2 = \frac{2 + \sqrt{100}}{-2} = \frac{2 + 10}{-2} = \frac{12}{-2} = -6\).
Ответ: \(x = -6\) и \(x = 4\).

3) \( y = \sqrt{x^2 — 3x} \). Чтобы найти нули функции, решим уравнение:
\(\sqrt{x^2 — 3x} = 0\)
\(x^2 — 3x = 0\)
\(x(x — 3) = 0\)
\(x = 0\) или \(x = 3\).
Ответ: \(x = 0\) и \(x = 3\).

4) \( y = x^3 — 2x^2 — x + 2 \). Чтобы найти нули функции, решим уравнение:
\(x^3 — 2x^2 — x + 2 = 0\)
\(x^2(x — 2) — (x — 2) = 0\)
\((x — 2)(x^2 — 1) = 0\)
\(x — 2 = 0\) или \(x^2 — 1 = 0\)
\(x = 2\) или \(x^2 = 1\)
\(x = -1\) и \(x = 1\).
Ответ: \(x = -1\), \(x = 1\), \(x = 2\).

5) \( y = \frac{x^2 + 4}{x} \). Чтобы найти нули функции, решим уравнение:
\(\frac{x^2 + 4}{x} = 0\).
Это равносильно системе:
\(\begin{cases} x^2 + 4 = 0 \\ x \neq 0 \end{cases}\)
\(x^2 = -4\) — решений нет.
Ответ: данная функция не имеет нулей.

6) \( y = \frac{x^2 + x — 12}{x — 3} \). Чтобы найти нули функции, решим уравнение:
\(\frac{x^2 + x — 12}{x — 3} = 0\).
Это равносильно системе:
\(\begin{cases} x^2 + x — 12 = 0 \\ x \neq 3 \end{cases}\)
Дискриминант:
\(D = 1 + 4 \cdot 12 = 49\).
Корни:
\(x_1 = \frac{-1 — \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 — 7}{2} = -4\);
\(x_2 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 + 7}{2} = 3\).
Так как \(x \neq 3\),
Ответ: \(x = -4\).

1) \( y = 0,4x + 6 \). Чтобы найти нули функции, решим уравнение:
\(0,4x + 6 = 0\)
\(0,4x = -6\)
\(x = \frac{-6}{0,4}\)
\(x = -15\).
Ответ: \(x = -15\).

2) \( y = 24 — 2x — x^2 \). Чтобы найти нули функции, решим уравнение:
\(24 — 2x — x^2 = 0\)
\(-x^2 — 2x + 24 = 0\)
Дискриминант:
\(D = 4 + 4 \cdot 24 = 4 + 96 = 100\).
Корни:
\(x_1 = \frac{2 — \sqrt{100}}{-2} = \frac{2 — 10}{-2} = \frac{-8}{-2} = 4\);
\(x_2 = \frac{2 + \sqrt{100}}{-2} = \frac{2 + 10}{-2} = \frac{12}{-2} = -6\).
Ответ: \(x = -6\) и \(x = 4\).

3) \( y = \sqrt{x^2 — 3x} \). Чтобы найти нули функции, решим уравнение:
\(\sqrt{x^2 — 3x} = 0\)
\(x^2 — 3x = 0\)
\(x(x — 3) = 0\)
\(x = 0\) или \(x = 3\).
Ответ: \(x = 0\) и \(x = 3\).

4) \( y = x^3 — 2x^2 — x + 2 \). Чтобы найти нули функции, решим уравнение:
\(x^3 — 2x^2 — x + 2 = 0\)
\(x^2(x — 2) — (x — 2) = 0\)
\((x — 2)(x^2 — 1) = 0\)
\(x — 2 = 0\) или \(x^2 — 1 = 0\)
\(x = 2\) или \(x^2 = 1\)
\(x = -1\) и \(x = 1\).
Ответ: \(x = -1\), \(x = 1\), \(x = 2\).

5) \( y = \frac{x^2 + 4}{x} \). Чтобы найти нули функции, решим уравнение:
\(\frac{x^2 + 4}{x} = 0\).
Это равносильно системе:
\(\begin{cases} x^2 + 4 = 0 \\ x \neq 0 \end{cases}\)
\(x^2 = -4\) — решений нет.
Ответ: данная функция не имеет нулей.

6) \( y = \frac{x^2 + x — 12}{x — 3} \). Чтобы найти нули функции, решим уравнение:
\(\frac{x^2 + x — 12}{x — 3} = 0\).
Это равносильно системе:
\(\begin{cases} x^2 + x — 12 = 0 \\ x \neq 3 \end{cases}\)
Дискриминант:
\(D = 1 + 4 \cdot 12 = 49\).
Корни:
\(x_1 = \frac{-1 — \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 — 7}{2} = -4\);
\(x_2 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 + 7}{2} = 3\).
Так как \(x \neq 3\),
Ответ: \(x = -4\).
1) Функция задана уравнением \( y = 0,4x + 6 \). Чтобы найти нули функции, необходимо определить значения \( x \), при которых \( y = 0 \). Это значит, что нам нужно решить уравнение \( 0,4x + 6 = 0 \). Переносим свободный член \(6\) в правую часть со знаком минус: \( 0,4x = -6 \). Далее делим обе части уравнения на коэффициент при \( x \), то есть на \( 0,4 \), чтобы выразить \( x \): \( x = \frac{-6}{0,4} \). При делении получаем \( x = -15 \). Таким образом, функция пересекает ось абсцисс в точке с координатой \( x = -15 \). Это единственный корень уравнения, и он определяет нуль функции.

2) Рассмотрим функцию \( y = 24 — 2x — x^2 \). Для нахождения нулей функции нужно решить квадратное уравнение \( 24 — 2x — x^2 = 0 \). Перепишем уравнение в стандартном виде: \( -x^2 — 2x + 24 = 0 \). Чтобы упростить вычисления, умножим обе части на \(-1\), получая \( x^2 + 2x — 24 = 0 \). Для решения используем формулу корней квадратного уравнения, для чего сначала вычислим дискриминант \( D = b^2 — 4ac \), где \( a=1 \), \( b=2 \), \( c=-24 \). Подставляем: \( D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100 \). Корни вычисляем по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \). Подставляя значения, получаем \( x_1 = \frac{-2 — 10}{2} = -6 \) и \( x_2 = \frac{-2 + 10}{2} = 4 \). Следовательно, нули функции находятся в точках \( x = -6 \) и \( x = 4 \).

3) Функция задана как \( y = \sqrt{x^2 — 3x} \). Чтобы найти нули функции, приравниваем выражение под корнем к нулю, так как корень из нуля равен нулю: \( \sqrt{x^2 — 3x} = 0 \Rightarrow x^2 — 3x = 0 \). Вынесем общий множитель \( x \) за скобки: \( x(x — 3) = 0 \). По свойству произведения, оно равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Значит, либо \( x = 0 \), либо \( x — 3 = 0 \), откуда \( x = 3 \). Таким образом, нули функции находятся в точках \( x = 0 \) и \( x = 3 \).

4) Для функции \( y = x^3 — 2x^2 — x + 2 \) необходимо найти корни кубического уравнения \( x^3 — 2x^2 — x + 2 = 0 \). Попытаемся разложить многочлен на множители. Группируем члены: \( x^2(x — 2) — (x — 2) = 0 \). Вынесем общий множитель \( (x — 2) \): \( (x — 2)(x^2 — 1) = 0 \). Теперь у нас произведение двух множителей равно нулю, значит, либо \( x — 2 = 0 \), либо \( x^2 — 1 = 0 \). Отсюда \( x = 2 \) или \( x^2 = 1 \). Решая квадратное уравнение \( x^2 = 1 \), получаем \( x = \pm 1 \). Следовательно, нули функции: \( x = -1 \), \( x = 1 \), \( x = 2 \).

5) Рассмотрим функцию \( y = \frac{x^2 + 4}{x} \). Чтобы найти нули функции, решаем уравнение \( \frac{x^2 + 4}{x} = 0 \). Для дроби равенство нулю возможно только при условии, что числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
\(\begin{cases} x^2 + 4 = 0 \\ x \neq 0 \end{cases}\).
Рассмотрим уравнение \( x^2 + 4 = 0 \). Переносим 4 в правую часть: \( x^2 = -4 \). Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, значит, решений нет. Следовательно, функция не имеет нулей, то есть не пересекает ось \( x \).

6) Функция задана как \( y = \frac{x^2 + x — 12}{x — 3} \). Чтобы найти нули функции, решаем уравнение \( \frac{x^2 + x — 12}{x — 3} = 0 \). Для этого числитель должен быть равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
\(\begin{cases} x^2 + x — 12 = 0 \\ x \neq 3 \end{cases}\).
Вычислим дискриминант квадратного уравнения: \( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \). Корни:
\( x_1 = \frac{-1 — \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 — 7}{2} = -4 \);
\( x_2 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 + 7}{2} = 3 \).
Однако \( x = 3 \) не входит в область определения функции, так как знаменатель равен нулю. Таким образом, единственный нуль функции — \( x = -4 \).