ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 8 Номер 6 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

6. Найдите промежутки знакопостоянства функции:
1) \( f(x) = -4x + 36 \);
2) \( f(x) = -x^2 + 4x — 4 \);
3) \( f(x) = \frac{8}{2x — 18} \).

1) \( f(x) = -4x + 36 \).
Решим неравенство:
\(-4x + 36 > 0\)
\(-4x > -36\)
\(x < 9\).
Следовательно, данная функция принимает положительные значения на промежутке \((-\infty; 9)\).
Решим неравенство:
\(-4x + 36 < 0\)
\(-4x < -36\)
\(x > 9\).
Следовательно, данная функция принимает отрицательные значения на промежутке \((9; +\infty)\).

2) \( f(x) = -x^2 + 4x — 4 \) — парабола, ветви направлены вниз.
Найдём нули функции:
\(-x^2 + 4x — 4 = 0\)
\(-(x^2 — 4x + 4) = 0\)
\(-(x — 2)^2 = 0\)
\(x — 2 = 0\)
\(x = 2\) — вершина параболы в точке \((2; 0)\).
Данная функция не принимает положительных значений (ветви параболы направлены вниз).
Данная функция принимает отрицательные значения на промежутках \((-\infty; 2) \cup (2; +\infty)\).

3) \( f(x) = \frac{8}{2x — 18} \).
Решим неравенство:
\(2x — 18 > 0\)
\(2x > 18\)
\(x > 9\).
Следовательно, данная функция принимает положительные значения на промежутке \((9; +\infty)\).
Решим неравенство:
\(2x — 18 < 0\)
\(2x < 18\)
\(x < 9\).
Следовательно, данная функция принимает отрицательные значения на промежутке \((-\infty; 9)\).

1) \( f(x) = -4x + 36 \).
Решим неравенство:
\(-4x + 36 > 0\)
\(-4x > -36\)
\(x < 9\).
Следовательно, данная функция принимает положительные значения на промежутке \((-\infty; 9)\).
Решим неравенство:
\(-4x + 36 < 0\)
\(-4x < -36\)
\(x > 9\).
Следовательно, данная функция принимает отрицательные значения на промежутке \((9; +\infty)\).

2) \( f(x) = -x^2 + 4x — 4 \) — парабола, ветви направлены вниз.
Найдём нули функции:
\(-x^2 + 4x — 4 = 0\)
\(-(x^2 — 4x + 4) = 0\)
\(-(x — 2)^2 = 0\)
\(x — 2 = 0\)
\(x = 2\) — вершина параболы в точке \((2; 0)\).
Данная функция не принимает положительных значений (ветви параболы направлены вниз).
Данная функция принимает отрицательные значения на промежутках \((-\infty; 2) \cup (2; +\infty)\).

3) \( f(x) = \frac{8}{2x — 18} \).
Решим неравенство:
\(2x — 18 > 0\)
\(2x > 18\)
\(x > 9\).
Следовательно, данная функция принимает положительные значения на промежутке \((9; +\infty)\).
Решим неравенство:
\(2x — 18 < 0\)
\(2x < 18\)
\(x < 9\).
Следовательно, данная функция принимает отрицательные значения на промежутке \((-\infty; 9)\).

1) Рассмотрим функцию \( f(x) = -4x + 36 \). Это линейная функция с отрицательным коэффициентом при \( x \), что означает, что график функции — прямая, наклонённая вниз. Чтобы определить, на каких промежутках функция принимает положительные значения, необходимо решить неравенство \( -4x + 36 > 0 \). Переносим 36 в правую часть: \( -4x > -36 \). При делении обеих частей неравенства на отрицательное число \(-4\) меняем знак неравенства, получаем \( x < 9 \). Значит, для всех \( x \), меньших 9, функция положительна. Это означает, что на интервале \( (-\infty; 9) \) значения функции будут больше нуля.

Далее рассмотрим отрицательные значения функции. Для этого решаем неравенство \( -4x + 36 < 0 \). Аналогично переносим 36 в правую часть: \( -4x < -36 \), и при делении на \(-4\) меняем знак неравенства: \( x > 9 \). Следовательно, функция принимает отрицательные значения на промежутке \( (9; +\infty) \). Таким образом, точка \( x = 9 \) является граничной точкой, где функция меняет знак с положительного на отрицательный.

2) Функция \( f(x) = -x^2 + 4x — 4 \) представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз, так как коэффициент при \( x^2 \) отрицателен (\(-1\)). Чтобы понять, где функция положительна или отрицательна, сначала найдём её корни, решив уравнение \( -x^2 + 4x — 4 = 0 \). Перепишем его как \( -(x^2 — 4x + 4) = 0 \), что эквивалентно \( (x — 2)^2 = 0 \). Отсюда корень \( x = 2 \), который является единственным и одновременно вершиной параболы.

Вершина параболы находится в точке \( (2; 0) \). Поскольку ветви направлены вниз, функция достигает максимума в этой точке, равного нулю. Это значит, что функция не принимает положительных значений, потому что максимум равен нулю и значения функции либо равны нулю, либо меньше нуля. Следовательно, функция принимает отрицательные значения во всех остальных точках, кроме \( x = 2 \).

Таким образом, функция отрицательна на двух промежутках: \( (-\infty; 2) \) и \( (2; +\infty) \). В точке \( x = 2 \) значение функции равно нулю, то есть функция меняет знак, но не становится положительной.

3) Рассмотрим функцию \( f(x) = \frac{8}{2x — 18} \). Это рациональная функция, где знаменатель равен \( 2x — 18 \). Чтобы понять, где функция положительна, решим неравенство \( \frac{8}{2x — 18} > 0 \). Числитель \( 8 \) всегда положителен, поэтому знак функции определяется знаком знаменателя. Решаем неравенство \( 2x — 18 > 0 \), откуда \( 2x > 18 \) и \( x > 9 \). На этом промежутке функция положительна.

Для отрицательных значений функции решим неравенство \( \frac{8}{2x — 18} < 0 \). Поскольку числитель положителен, это возможно только при отрицательном знаменателе: \( 2x — 18 < 0 \), откуда \( x < 9 \). Значит, функция принимает отрицательные значения на промежутке \( (-\infty; 9) \).

Точка \( x = 9 \) исключена из области определения функции, так как при \( x = 9 \) знаменатель равен нулю, и функция не определена. Таким образом, знак функции меняется при переходе через эту точку, где происходит разрыв. На интервале \( (-\infty; 9) \) функция отрицательна, на интервале \( (9; +\infty) \) — положительна.