ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 9 Номер 10 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

На рисунке изображён график функции \( y = f(x) \). Постройте на этом рисунке графики функций \( y = 1{,}5 f(x) \) и \( y = -\frac{1}{3} f(x) \).

Нули функции остаются прежними.
\( y = 1,5 f(x) \) — красный график; ординаты увеличиваются в 1,5 раза.
\( y = -\frac{1}{3} f(x) \) — синий график; ординаты увеличиваются в \(\frac{1}{3}\) раза.

Нули функции остаются прежними.
\( y = 1,5 f(x) \) — красный график; ординаты увеличиваются в 1,5 раза.
\( y = -\frac{1}{3} f(x) \) — синий график; ординаты увеличиваются в \(\frac{1}{3}\) раза.

Нули функции \( f(x) \) остаются прежними, что означает, что точки пересечения графика с осью \( x \) не изменяются при умножении функции на константу. Это связано с тем, что если \( f(x_0) = 0 \) для некоторого \( x_0 \), то при любом числе \( k \) будет \( k \cdot f(x_0) = k \cdot 0 = 0 \). Следовательно, умножение функции на число не сдвигает график по оси \( x \) и не меняет корни уравнения \( f(x) = 0 \).

При рассмотрении функции \( y = 1{,}5 f(x) \) происходит масштабирование по оси \( y \) с коэффициентом 1,5. Это значит, что для каждого значения \( x \) новая ордината станет в 1,5 раза больше исходного значения функции \( f(x) \). Если, например, в точке \( x = a \) значение функции было \( f(a) = 2 \), то теперь \( y = 1{,}5 \times 2 = 3 \). Визуально это отражается расширением графика по вертикали, что делает его «выше» или «глубже» в зависимости от знака функции. При этом форма графика сохраняется, так как все значения умножаются на одинаковый коэффициент.

Для функции \( y = -\frac{1}{3} f(x) \) происходит не только масштабирование по оси \( y \) с коэффициентом \( \frac{1}{3} \), но и отражение относительно оси \( x \) из-за отрицательного знака. Это означает, что каждая точка графика функции \( f(x) \) сначала уменьшается в 3 раза по высоте, а затем меняет знак. Например, если \( f(b) = 6 \), то новое значение будет \( y = -\frac{1}{3} \times 6 = -2 \). Таким образом, положительные значения функции становятся отрицательными и уменьшаются по величине, а отрицательные — становятся положительными и также уменьшаются по модулю. График сжимается по вертикали и переворачивается, но нули функции остаются на тех же местах.