ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 9 Номер 14 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

При каком значении \( a \) парабола \( y = ax^{2} \) и прямая \( y = 2 — 3x \) имеют одну общую точку?

\( y = ax^{2} \) и \( y = 2 — 3x \).
Графики пересекаются, если:
\( ax^{2} = 2 — 3x \)
\( ax^{2} + 3x — 2 = 0 \)
\( D = 9 + 4 \cdot a \cdot 2 = 9 + 8a \).
Квадратное уравнение имеет один корень, если \( D = 0 \):
\( 9 + 8a = 0 \)
\( 8a = -9 \)
\( a = -\frac{9}{8} = -1 \frac{1}{8} \).
Следовательно, данные графики имеют одну общую точку при \( a = -1 \frac{1}{8} \).
Ответ: при \( a = -1 \frac{1}{8} \).

\( y = ax^{2} \) и \( y = 2 — 3x \).
Графики пересекаются, если:
\( ax^{2} = 2 — 3x \)
\( ax^{2} + 3x — 2 = 0 \)
\( D = 9 + 4 \cdot a \cdot 2 = 9 + 8a \).
Квадратное уравнение имеет один корень, если \( D = 0 \):
\( 9 + 8a = 0 \)
\( 8a = -9 \)
\( a = -\frac{9}{8} = -1 \frac{1}{8} \).
Следовательно, данные графики имеют одну общую точку при \( a = -1 \frac{1}{8} \).
Ответ: при \( a = -1 \frac{1}{8} \).

Рассмотрим две функции: параболу \( y = ax^{2} \) и прямую \( y = 2 — 3x \). Чтобы определить, при каком значении параметра \( a \) эти графики имеют ровно одну общую точку, нужно найти условия пересечения этих двух кривых. Пересечение графиков означает, что существует такое значение \( x \), при котором значения функций совпадают, то есть \( ax^{2} = 2 — 3x \).

Перепишем это уравнение в стандартной форме квадратного уравнения: \( ax^{2} + 3x — 2 = 0 \). Это уравнение от \( x \) зависит от параметра \( a \). Количество корней этого уравнения определяет количество точек пересечения графиков. Если уравнение имеет два различных корня, графики пересекаются в двух точках; если корней нет, графики не пересекаются; если же уравнение имеет ровно один корень, графики касаются друг друга в одной точке.

Для определения количества корней квадратного уравнения используется дискриминант \( D \), который вычисляется по формуле \( D = b^{2} — 4ac \), где \( a \), \( b \), \( c \) — коэффициенты уравнения. В нашем случае \( a = a \), \( b = 3 \), \( c = -2 \), поэтому дискриминант равен \( D = 3^{2} — 4 \cdot a \cdot (-2) = 9 + 8a \). Чтобы уравнение имело ровно один корень, дискриминант должен быть равен нулю: \( 9 + 8a = 0 \). Решая это уравнение относительно \( a \), получаем \( 8a = -9 \), откуда \( a = -\frac{9}{8} \), что в смешанной форме равно \( -1 \frac{1}{8} \).

Таким образом, при значении \( a = -1 \frac{1}{8} \) парабола \( y = ax^{2} \) и прямая \( y = 2 — 3x \) имеют ровно одну общую точку, то есть касаются друг друга. Это означает, что при данном значении параметра графики не просто пересекаются, а соприкасаются в одной точке, что соответствует условию касания.