ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 9 Номер 2 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Заполните таблицу свойств функции \( y = ax^2 \), \( a \neq 0 \).

Функция \( y = ax^2 \), где \( a \neq 0 \), является квадратичной функцией, и её свойства зависят от знака коэффициента \( a \). Рассмотрим подробно каждый из параметров, указанных в таблице, чтобы понять, как меняется поведение функции в зависимости от того, положителен или отрицателен коэффициент \( a \).

Область определения функции — это множество всех значений переменной \( x \), для которых функция определена. Для функции \( y = ax^2 \) область определения всегда равна всему множеству действительных чисел, то есть \( (-\infty; +\infty) \), независимо от знака \( a \). Это связано с тем, что для любого действительного числа \( x \) выражение \( ax^2 \) имеет смысл и вычисляется без ограничений. Таким образом, нет таких значений \( x \), при которых функция была бы неопределена.

Область значений функции — это множество всех возможных значений \( y \), которые функция может принимать. Если \( a > 0 \), то парабола, заданная функцией \( y = ax^2 \), направлена ветвями вверх, и минимальное значение функции достигается в вершине при \( x = 0 \), где \( y = 0 \). Следовательно, область значений в этом случае равна \( [0; +\infty) \), то есть функция принимает все неотрицательные значения. Если же \( a < 0 \), то парабола направлена ветвями вниз, и максимальное значение функции — это \( y = 0 \) при \( x = 0 \). Тогда область значений равна \( (-\infty; 0] \), то есть функция принимает все значения, не превышающие нуля. Нули функции — это точки, в которых функция принимает значение ноль. Для функции \( y = ax^2 \) нулём является точка \( x = 0 \), так как \( a \cdot 0^2 = 0 \). Это единственный корень уравнения \( ax^2 = 0 \), поскольку квадрат любого числа неотрицателен, и равен нулю только при \( x = 0 \). Промежутки знакопостоянства показывают, на каких интервалах функция сохраняет знак своего значения. Для \( a > 0 \) функция положительна на всех промежутках, кроме точки \( x = 0 \), то есть на интервалах \( (-\infty; 0) \) и \( (0; +\infty) \). В точке \( x = 0 \) функция равна нулю. Аналогично, при \( a < 0 \) функция отрицательна на тех же промежутках \( (-\infty; 0) \) и \( (0; +\infty) \), а в точке \( x = 0 \) равна нулю. Возрастание и убывание функции связаны с её монотонностью на определённых промежутках. Если \( a > 0 \), то функция убывает на промежутке \( (-\infty; 0] \), так как при движении слева направо от минус бесконечности до нуля значения функции уменьшаются, достигая минимума в точке \( x = 0 \). После этого, на промежутке \( [0; +\infty) \), функция возрастает, так как значения начинают увеличиваться при увеличении \( x \). Для случая \( a < 0 \) ситуация обратная: функция возрастает на промежутке \( (-\infty; 0] \) и убывает на \( [0; +\infty) \), так как парабола направлена вниз, и максимум достигается в вершине при \( x = 0 \). Таким образом, знак коэффициента \( a \) определяет форму параболы и её поведение на различных интервалах.