ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 9 Номер 5 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков функции.
1) у = 5x^2 и у = 45x; 2) у = -\frac{1}{3} x^2 и у = x — 6.

1) \( y = 5x^2 \) и \( y = 45x \).
Найдем абсциссы точек пересечения графиков данных функций, решив уравнение:
\( 5x^2 = 45x \)
\( 5x^2 — 45x = 0 \)
\( 5x(x — 9) = 0 \)
\( 5x = 0 \) или \( x — 9 = 0 \)
\( x = 0 \quad x = 9 \).
Найдем ординаты точек пересечения графиков данных функций, подставив \( x \) в любую функцию:
при \( x = 0 \): \( y = 45x = 45 \cdot 0 = 0 \);
при \( x = 9 \): \( y = 45x = 45 \cdot 9 = 405 \).
Координаты точек пересечения графиков функций: \( (0;0) \) и \( (9;405) \).
Ответ: \( (0;0) \) и \( (9;405) \).

2) \( y = -\frac{1}{3}x^2 \) и \( y = x — 6 \).
Найдем абсциссы точек пересечения графиков данных функций, решив уравнение:
\( -\frac{1}{3}x^2 = x — 6 \)
\( -\frac{1}{3}x^2 — x + 6 = 0 \quad | \cdot (-3) \)
\( x^2 + 3x — 18 = 0 \)
\( D = 9 + 4 \cdot 18 = 9 + 72 = 81 \).
\( x_1 = \frac{-3 — \sqrt{81}}{2} = \frac{-3 — 9}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \);
\( x_2 = \frac{-3 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-3 + 9}{2} = \frac{6}{2} = 3 \).
Найдем ординаты точек пересечения графиков данных функций, подставив \( x \) в любую функцию:
при \( x = -6 \): \( y = x — 6 = -6 — 6 = -12 \);
при \( x = 3 \): \( y = x — 6 = 3 — 6 = -3 \).
Координаты точек пересечения графиков функций: \( (-6; -12) \) и \( (3; -3) \).
Ответ: \( (-6; -12) \) и \( (3; -3) \).

1) \( y = 5x^2 \) и \( y = 45x \).
Найдем абсциссы точек пересечения графиков данных функций, решив уравнение:
\( 5x^2 = 45x \)
\( 5x^2 — 45x = 0 \)
\( 5x(x — 9) = 0 \)
\( 5x = 0 \) или \( x — 9 = 0 \)
\( x = 0 \quad x = 9 \).
Найдем ординаты точек пересечения графиков данных функций, подставив \( x \) в любую функцию:
при \( x = 0 \): \( y = 45x = 45 \cdot 0 = 0 \);
при \( x = 9 \): \( y = 45x = 45 \cdot 9 = 405 \).
Координаты точек пересечения графиков функций: \( (0;0) \) и \( (9;405) \).
Ответ: \( (0;0) \) и \( (9;405) \).

2) \( y = -\frac{1}{3}x^2 \) и \( y = x — 6 \).
Найдем абсциссы точек пересечения графиков данных функций, решив уравнение:
\( -\frac{1}{3}x^2 = x — 6 \)
\( -\frac{1}{3}x^2 — x + 6 = 0 \quad | \cdot (-3) \)
\( x^2 + 3x — 18 = 0 \)
\( D = 9 + 4 \cdot 18 = 9 + 72 = 81 \).
\( x_1 = \frac{-3 — \sqrt{81}}{2} = \frac{-3 — 9}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \);
\( x_2 = \frac{-3 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-3 + 9}{2} = \frac{6}{2} = 3 \).
Найдем ординаты точек пересечения графиков данных функций, подставив \( x \) в любую функцию:
при \( x = -6 \): \( y = x — 6 = -6 — 6 = -12 \);
при \( x = 3 \): \( y = x — 6 = 3 — 6 = -3 \).
Координаты точек пересечения графиков функций: \( (-6; -12) \) и \( (3; -3) \).
Ответ: \( (-6; -12) \) и \( (3; -3) \).
1) Рассмотрим функции \( y = 5x^2 \) и \( y = 45x \). Чтобы найти точки пересечения графиков этих функций, необходимо определить значения \( x \), при которых значения функций совпадают, то есть решить уравнение \( 5x^2 = 45x \). Это уравнение показывает, что значения функции \( y \) равны для тех же самых \( x \).

Перепишем уравнение в виде \( 5x^2 — 45x = 0 \). Далее вынесем общий множитель \( 5x \): \( 5x(x — 9) = 0 \). По правилу произведения, если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю. Значит, либо \( 5x = 0 \), либо \( x — 9 = 0 \). Отсюда получаем два значения \( x \): \( x = 0 \) и \( x = 9 \).

Для нахождения соответствующих значений \( y \) подставим найденные значения \( x \) в любую из исходных функций, например, в \( y = 45x \). При \( x = 0 \), \( y = 45 \cdot 0 = 0 \), а при \( x = 9 \), \( y = 45 \cdot 9 = 405 \). Таким образом, точки пересечения графиков имеют координаты \( (0;0) \) и \( (9;405) \).

2) Для функций \( y = -\frac{1}{3}x^2 \) и \( y = x — 6 \) также найдем точки пересечения, приравняв значения функций: \( -\frac{1}{3}x^2 = x — 6 \). Это уравнение требует преобразования для удобства решения.

Переносим все слагаемые в одну сторону: \( -\frac{1}{3}x^2 — x + 6 = 0 \). Чтобы избавиться от дроби, умножим всё уравнение на \( -3 \), что даст: \( x^2 + 3x — 18 = 0 \). Теперь у нас квадратное уравнение стандартного вида \( ax^2 + bx + c = 0 \) с \( a = 1 \), \( b = 3 \), \( c = -18 \).

Вычислим дискриминант \( D = b^2 — 4ac = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81 \). Корни уравнения находятся по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \). Подставляя значения, получаем \( x_1 = \frac{-3 — 9}{2} = -6 \) и \( x_2 = \frac{-3 + 9}{2} = 3 \).

Для нахождения соответствующих значений \( y \) подставим корни в функцию \( y = x — 6 \). При \( x = -6 \), \( y = -6 — 6 = -12 \), при \( x = 3 \), \( y = 3 — 6 = -3 \). Следовательно, точки пересечения имеют координаты \( (-6; -12) \) и \( (3; -3) \).