ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Контрольная работа 1 Вариант 1 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Найдите область определения функции
\( f(x) = \sqrt{1 — 4x} + \frac{3}{x^2 — x — 12} \)

2. Найдите область значений функции
\( y = \frac{2x — 10}{x^2} \)

3. Исследуйте на чётность функцию:
1) \( y = 2x — x^5 \);
2) \( y = \frac{x^6 — 2x^5}{2 — x} \);
3) \( y = \frac{|x — 1|}{(2x + 3)^2} + \frac{|x + 1|}{(2x — 3)^2} \)

4. Постройте график функции \( f(x) = -x^2 + 4x — 3 \). Используя график, найдите:
1) область значений функции;
2) промежуток убывания функции;
3) множество решений неравенства \( f(x) > 0 \).

5. Постройте график функции:
1) \( y = |2 — \sqrt{x}| \);
2) \( y = \sqrt{2 — x} \);
3) \( y = \sqrt{2 — 3x} \).

6. Решите уравнение
\( \sqrt{x — 2} + \sqrt{x + 6} = \frac{12}{x} \).

7. Найдите наименьшее значение функции
\( f(x) = (x^2 + 2x)^2 + 4(x^2 + 2x) + 5 \).

1. \( f(x) = \sqrt{1-4x} + \frac{3}{x^2 — x — 12} \);
Область определения:
\( x^2 — x — 12 \neq 0; \)
\( D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49 \), тогда:
\( x_1 \neq \frac{1-7}{2} = -3 \) и \( x_2 \neq \frac{1+7}{2} = 4 \);
\( 1-4x \geq 0, \ 4x \leq 1, \ x \leq 0{,}25; \)
Ответ: \( D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 0{,}25] \);

2. \( y = \frac{2x-10}{x^2} \);
Область значений:
\( yx^2 = 2x — 10; \)
\( yx^2 — 2x + 10 = 0; \)
\( D = 2^2 — 4 \cdot 10y \geq 0; \)
\( 4 — 40y \geq 0; \)
\( 40y \leq 4, \ y \leq 0{,}1; \)
Ответ: \( E(y) = (-\infty; 0{,}1] \);

3. Исследовать на четность:
1) \( y = 2x — x^5, \ D(x) = (-\infty; +\infty); \)
\( y(-x) = 2(-x) — (-x)^5 = x^5 — 2x; \)
Ответ: нечетная.

2) \( y = \frac{x^6 — 2x^5}{2-x} \)
\( D(x) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty); \)
Ответ: ни четная, ни нечетная.

3) \( y = \frac{|x-1|}{(2x+3)^2} + \frac{|x+1|}{(2x-3)^2} \);
\( 2x+3 \neq 0, \ 2x \neq -3, \ x \neq -1{,}5; \)
\( 2x-3 \neq 0, \ 2x \neq 3, \ x \neq 1{,}5; \)
\( y(-x) = \frac{|-x-1|}{(-2x+3)^2} + \frac{|-x+1|}{(-2x-3)^2}; \)
\( y(-x) = \frac{|1-x|}{(2x-3)^2} + \frac{|1+x|}{(2x+3)^2}; \)
Ответ: четная.

4. \( f(x) = -x^2 + 4x — 3; \)
\( x_0 = \frac{4}{2 \cdot (-1)} = \frac{4}{-2} = 2; \)
\( y_0 = -4 + 8 — 3 = 1; \)

Свойства функции:
1) \( E(y) = (-\infty; 1]; \)
2) Убывает на \( [2; +\infty) \);
3) \( f(x) > 0 \) при \( 1 < x < 3 \);

5. Построить график:
1) \( y = |2 — \sqrt{x}|; \)

2) \( y = \sqrt{2 — x}; \)

3) \( y = \sqrt{2 — 3x}; \)

6. Решить уравнение:

\(\sqrt{x-2}+\sqrt{x+6}=\frac{12}{x};\)

\(\sqrt{x-2}=\frac{12}{x}-\sqrt{x+6};\)

\(f(x)=\sqrt{x-2}\) – возрастает при \(x\geq2;\)

\(g(x)=\frac{12}{x}-\sqrt{x+6}\) – убывает при \(x\geq2;\)

Может быть только одно решение:

\(f(3)=\sqrt{3-2}=1,\quad g(3)=\frac{12}{3}-\sqrt{3+6}=4-3=1;\)

Ответ: \(3.\)

7. Наименьшее значение:

\(f(x)=(x^2+2x)^2+4(x^2+2x)+5;\)

\(g=t^2+4t+5,\quad t_0=-\frac{4}{2\cdot1}=-\frac{4}{2}=-2;\)

\(x_0=\frac{-2}{2}=-1,\quad t_{min}=1-2=-1;\)

\(f_0=1-4+5=5-3=2;\)

Ответ: \(2.\)

1. \( f(x) = \sqrt{1 — 4x} + \frac{3}{x^2 — x — 12} \)

Для определения области допустимых значений функции необходимо выполнить два условия:
а) Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
\( 1 — 4x \geq 0 \)
\( 4x \leq 1 \)
\( x \leq 0{,}25 \)

б) Знаменатель дроби не должен обращаться в ноль:
\( x^2 — x — 12 \neq 0 \)
Решим квадратное уравнение:
\( x^2 — x — 12 = 0 \)
Дискриминант:
\( D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \)
Корни:
\( x_1 = \frac{1 — 7}{2} = -3 \)
\( x_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4 \)
Исключаем точки \( x = -3 \) и \( x = 4 \) из области определения.

Область определения:
\( x \leq 0{,}25 \), кроме \( x = -3 \)
Ответ:
\( D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 0{,}25] \)

2. \( y = \frac{2x — 10}{x^2} \)

Найдем область значений.
Пусть \( y = \frac{2x — 10}{x^2} \), выразим \( x \) через \( y \):
\( yx^2 = 2x — 10 \)
\( yx^2 — 2x + 10 = 0 \)

Это квадратное уравнение относительно \( x \):
\( x^2y — 2x + 10 = 0 \)

Для существования вещественных решений дискриминант должен быть неотрицательным:
\( D = (-2)^2 — 4y \cdot 10 = 4 — 40y \geq 0 \)
\( 40y \leq 4 \)
\( y \leq 0{,}1 \)

Ответ:
\( E(y) = (-\infty; 0{,}1] \)

3. Исследовать на чётность:

1) \( y = 2x — x^5 \), \( D(x) = (-\infty; +\infty) \)

Проверим чётность:
\( y(-x) = 2(-x) — (-x)^5 = -2x + (-1)^5 x^5 = -2x — x^5 \)
\( y(-x) = -(2x + x^5) \)
\( y(-x) = -y(x) \)

Ответ: нечетная

2) \( y = \frac{x^6 — 2x^5}{2 — x} \), \( D(x) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty) \)

Проверим чётность:
\( y(-x) = \frac{(-x)^6 — 2(-x)^5}{2 — (-x)} = \frac{x^6 + 2x^5}{2 + x} \)

Не совпадает ни с \( y(x) \), ни с \( -y(x) \).

Ответ: ни четная, ни нечетная

3) \( y = \frac{|x — 1|}{(2x + 3)^2} + \frac{|x + 1|}{(2x — 3)^2} \)

Область определения:
\( 2x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1{,}5 \)
\( 2x — 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1{,}5 \)

Проверим чётность:
\( y(-x) = \frac{|-x — 1|}{(-2x + 3)^2} + \frac{|-x + 1|}{(-2x — 3)^2} \)

\( |-x — 1| = |-(x + 1)| = |x + 1| \)
\( |-x + 1| = |-(x — 1)| = |x — 1| \)
\( (-2x + 3)^2 = (2x — 3)^2 \)
\( (-2x — 3)^2 = (2x + 3)^2 \)

\( y(-x) = \frac{|x + 1|}{(2x — 3)^2} + \frac{|x — 1|}{(2x + 3)^2} \)

Это совпадает с \( y(x) \).

Ответ: четная

4. \( f(x) = -x^2 + 4x — 3 \)

Вершина параболы:
\( x_0 = \frac{4}{2 \cdot (-1)} = \frac{4}{-2} = 2 \)
\( y_0 = -2^2 + 4 \cdot 2 — 3 = -4 + 8 — 3 = 1 \)

График функции — ветви вниз, вершина в точке \( (2; 1) \).

Свойства функции:
1) \( E(y) = (-\infty; 1] \)
2) Убывает на \( [2; +\infty) \)
3) \( f(x) > 0 \) при \( 1 < x < 3 \)

5. Построить график:

1) \( y = |2 — \sqrt{x}| \)

2) \( y = \sqrt{2 — x} \)

3) \( y = \sqrt{2 — 3x} \)

6.

Рассмотрим уравнение:
\(\sqrt{x-2}+\sqrt{x+6}=\frac{12}{x}\).

Ограничения:
\(x-2 \geq 0\), то есть \(x \geq 2\).
\(x+6 \geq 0\), то есть \(x \geq -6\).
Но из первого условия \(x \geq 2\).

Перенесём \(\sqrt{x+6}\) в другую сторону:
\(\sqrt{x-2} = \frac{12}{x} — \sqrt{x+6}\).

Рассмотрим функции:
\(f(x) = \sqrt{x-2}\) возрастает при \(x \geq 2\).
\(g(x) = \frac{12}{x} — \sqrt{x+6}\) убывает при \(x \geq 2\).

Так как одна функция возрастает, а другая убывает, пересечение может быть только в одной точке.

Проверим \(x=3\):
\(f(3) = \sqrt{3-2} = \sqrt{1} = 1\).
\(g(3) = \frac{12}{3} — \sqrt{3+6} = 4 — 3 = 1\).

Значения совпадают, значит \(x=3\) — единственный корень.

Ответ: \(3\).

7.

Найдём наименьшее значение функции:
\(f(x) = (x^2 + 2x)^2 + 4(x^2 + 2x) + 5\).

Обозначим \(t = x^2 + 2x\), тогда
\(f(x) = t^2 + 4t + 5\).

Минимум квадратичной функции достигается в вершине параболы:
\(t_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2\).

Найдём \(x\), при котором \(t = -2\):
\(x^2 + 2x = -2\),
\(x^2 + 2x + 2 = 0\).

Дискриминант:
\(D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 — 8 = -4\).

Корней нет, значит, минимум достигается на границе области определения.

\(x^2 + 2x\) — парабола, ветви вверх, минимум в вершине:
\(x_0 = -\frac{2}{2} = -1\).

Вершина: \(t_{min} = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) = 1 — 2 = -1\).

Подставляем \(t = -1\) в исходную функцию:
\(f_0 = (-1)^2 + 4 \cdot (-1) + 5 = 1 — 4 + 5 = 2\).

Ответ: \(2\).