ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Контрольная работа 1 Вариант 2 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Найдите область определения функции \(f(x)=\sqrt{3-7x+\frac{1}{x^2-2x-15}}\).

2. Найдите область значений функции \(y = \frac{4x-12}{x^2+x-6}\).

3. Исследуйте на чётность функцию:

1) \(y = 3x^2 — x^4\);

2) \(y = \frac{x^7-3x^6}{|x-2|}\);

3) \(y = \frac{(4x-1)^2}{(4x+1)^2}\).

4. Постройте график функции \(f(x) = -x^2 — 2x +8\). Используя график, найдите:

1) область значений функции;

2) промежуток возрастания функции;

3) множество решений неравенства \(f(x) < 0\).

5. Постройте график функции:

1) \(y=3-\sqrt{x}\);

2) \(y=\sqrt{3-x}\);

3) \(y=\sqrt{3-2x}\).

6. Решите уравнение \(\sqrt{x-3}+\sqrt{x+5} = 16\).

7. Найдите наименьшее значение функции \(f(x) =(x^2-2x)^2 +6(x^2-2x) +10\).

1. Область определения: \(x^2 — 2x — 15 \neq 0\), корни: \(x_1 = -3\), \(x_2 = 5\). Условие подкоренного выражения: \(3 — 7x \geq 0\), значит \(x \leq \frac{3}{7}\). Ответ: \(D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; \frac{3}{7}]\).

2. Область значений: решаем уравнение \(y(x^2 + x — 6) = 4x — 12\). Дискриминант по \(x\): \(D = (y — 4)^2 — 4y(-12 + 6y) \geq 0\), упрощаем: \(-23y^2 + 40y + 16 \geq 0\). Решаем: \(y \in [-\frac{1}{3}; 1]\). Ответ: \(E(y) = (-\infty; \frac{1}{3}]\).

3. 1) \(y = 3x^2 — x^4\), \(y(-x) = 3x^2 — x^4 = y(x)\), функция чётная.
2) \(y = \frac{x^7 — 3x^6}{3 — x}\), \(y(-x) \neq y(x)\) и \(y(-x) \neq -y(x)\), ни чётная, ни нечётная.
3) \(y = \frac{|x + 2|}{(4x — 1)^2} — \frac{|x — 2|}{(4x + 1)^2}\), \(y(-x) = -y(x)\), функция нечётная.

4. Вершина: \(x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -1\), \(y_0 = -(-1)^2 — 2(-1) + 8 = 9\).
Область значений: \((-\infty; 9]\).
Функция возрастает на \((-\infty; -1]\).
Решаем \(f(x) < 0\): \(-x^2 — 2x + 8 < 0\), эквивалентно \(x^2 + 2x — 8 > 0\). Корни: \(-4\) и \(2\). Ответ: \(x < -4\) или \(x > 2\).

5. Графики:
1) \(y = 3 — \sqrt{x}\), \(x \geq 0\).

2) \(y = \sqrt{3 — x}\), \(x \leq 3\).

3) \(y = \sqrt{3 — 2x}\), \(x \leq \frac{3}{2}\).

6. Решение уравнения: \(\sqrt{x — 3} + \sqrt{x + 5} = \frac{16}{x}\). Проверяем \(x = 4\): \(\sqrt{4 — 3} + \sqrt{4 + 5} = 1 + 3 = 4\), а \(\frac{16}{4} = 4\). Ответ: \(4\).

7. Пусть \(t = x^2 — 2x\), тогда \(f(t) = t^2 + 6t + 10\). Вершина: \(t_0 = -\frac{6}{2} = -3\). Минимум: \(f(-3) = 9 — 18 + 10 = 1\). Ответ: \(5\).

1. Для области определения функции \(f(x) = \sqrt{3 — 7x + \frac{1}{x^2 — 2x — 15}}\) сначала найдём, при каких \(x\) знаменатель не равен нулю: решаем уравнение \(x^2 — 2x — 15 = 0\). Дискриминант \(D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64\). Корни: \(x_1 = \frac{2 — 8}{2} = -3\), \(x_2 = \frac{2 + 8}{2} = 5\). Значит, \(x \neq -3\) и \(x \neq 5\). Далее подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(3 — 7x + \frac{1}{x^2 — 2x — 15} \geq 0\). При \(x \neq -3, 5\) рассмотрим основную часть \(3 — 7x \geq 0\), откуда \(x \leq \frac{3}{7}\). Ответ: \(D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; \frac{3}{7}]\).

2. Для функции \(y = \frac{4x — 12}{x^2 + x — 6}\) найдём область значений. Знаменатель раскладывается: \(x^2 + x — 6 = (x — 2)(x + 3)\), значит \(x \neq 2\), \(x \neq -3\). Перепишем уравнение: \(y(x^2 + x — 6) = 4x — 12\), или \(yx^2 + yx — 6y = 4x — 12\). Перенесём все в одну сторону: \(yx^2 + (y — 4)x + (-6y + 12) = 0\). Рассмотрим как квадратное уравнение относительно \(x\). Для существования решений дискриминант должен быть неотрицательным: \(D = (y — 4)^2 — 4y(-6y + 12) \geq 0\). Раскроем скобки: \(D = y^2 — 8y + 16 + 24y^2 — 48y = 25y^2 — 56y + 16 \geq 0\). Решим неравенство: \(25y^2 — 56y + 16 \geq 0\). Найдём корни: \(D_y = (-56)^2 — 4 \cdot 25 \cdot 16 = 3136 — 1600 = 1536\). Корни: \(y_1 = \frac{56 — \sqrt{1536}}{50}\), \(y_2 = \frac{56 + \sqrt{1536}}{50}\). Приблизительно \(y_1 \approx 0.36\), \(y_2 \approx 1.76\). Так как коэффициент при \(y^2\) положительный, то \(D \geq 0\) при \(y \leq 0.36\) или \(y \geq 1.76\). Но функция не может принимать значения вне промежутка между этими корнями, поэтому область значений: \(E(y) = [0.36; 1.76]\).

3. Проверка чётности:
1) \(y = 3x^2 — x^4\). Подставим \(-x\): \(y(-x) = 3(-x)^2 — (-x)^4 = 3x^2 — x^4 = y(x)\). Функция чётная.
2) \(y = \frac{x^7 — 3x^6}{3 — x}\). Подставим \(-x\): \(y(-x) = \frac{-x^7 — 3x^6}{3 + x}\), не равно ни \(y(x)\), ни \(-y(x)\). Функция не является ни чётной, ни нечётной.
3) \(y = \frac{|x + 2|}{(4x — 1)^2} — \frac{|x — 2|}{(4x + 1)^2}\). Подставим \(-x\): \(y(-x) = \frac{| -x + 2|}{(-4x — 1)^2} — \frac{| -x — 2|}{(-4x + 1)^2} = \frac{|x — 2|}{(4x + 1)^2} — \frac{|x + 2|}{(4x — 1)^2} = -y(x)\). Функция нечётная.

4. Функция \(f(x) = -x^2 — 2x + 8\). Вершина параболы: \(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -1\). Значение в вершине: \(f(-1) = -(-1)^2 — 2(-1) + 8 = -1 + 2 + 8 = 9\). Область значений: \((-\infty; 9]\). Функция возрастает на промежутке \((-\infty; -1]\). Решаем неравенство \(f(x) < 0\): \(-x^2 — 2x + 8 < 0\), или \(x^2 + 2x — 8 > 0\). Корни уравнения: \(x = -4\), \(x = 2\). Значит, \(f(x) < 0\) при \(x < -4\) или \(x > 2\).

5. Построение графиков:
1) \(y = 3 — \sqrt{x}\), \(x \geq 0\).

2) \(y = \sqrt{3 — x}\), \(x \leq 3\).

3) \(y = \sqrt{3 — 2x}\), \(x \leq \frac{3}{2}\).

6. Решение уравнения \(\sqrt{x — 3} + \sqrt{x + 5} = \frac{16}{x}\). Проверяем \(x = 4\): \(\sqrt{4 — 3} + \sqrt{4 + 5} = 1 + 3 = 4\), и \(\frac{16}{4} = 4\). Значит, \(x = 4\) — решение.

7. Пусть \(t = x^2 — 2x\). Тогда функция принимает вид \(f(t) = t^2 + 6t + 10\). Вершина параболы по \(t\): \(t_0 = -\frac{6}{2} = -3\). Значение функции в вершине: \(f(-3) = (-3)^2 + 6(-3) + 10 = 9 — 18 + 10 = 1\). Минимальное значение функции равно 1.