Самостоятельные и контрольные работы по алгебре для 9 класса под редакцией А.Г. Мерзляка и В.М. Полякова — это учебное пособие, созданное в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и входящее в систему учебно-методических комплектов «Алгоритм успеха». Пособие предназначено для закрепления и проверки знаний, полученных на уроках алгебры, и способствует формированию у школьников устойчивых математических умений.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Контрольная работа 2 Вариант 1 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
1. Решите неравенство:
1) \(9x^2 -10x +1 > 0\);
2) \(16x^2-8x+1 < 0\);
3) \(-3x^2 +2x — 7 < 0\).
2. Найдите область определения функции \(f(x) = \frac{\sqrt{4 + 5x — x^2}}{x^2 + x — 6}\) при \(x^2-2x + 3 > 0\), \(|x — 1| < 4\).
3. Решите систему неравенств:
\(\begin{cases} x^2 — 2x + 3 > 0, \\ |x — 1| < 4. \end{cases}\)
4. Решите неравенство:
1) \((x+11)(x-3)(x+4) < 0\);
2) \((x+1)(5 — x)(x + 4)^2 > 0\);
3) \(\frac{8}{x-1} — \frac{6}{x+1} — \frac{x}{x-3} \geq 0\).
5. Решите неравенство:
1) \(|x^2 +8x+1| < 2x + 8\);
2) \(|x^2 +2x-10| > 4-3x\).
6. При каких значениях параметра \(a\) все корни уравнения \(x^2 — 4ax + 4a^2 — a — 10 = 0\) меньше 1?
1) \(9x^{2} — 10x + 1 \geq 0\)
\(D = 100 — 36 = 64\)
\(x_1 = \frac{10 — 8}{18} = \frac{1}{9}, \quad x_2 = \frac{10 + 8}{18} = 1\)
\((x — \frac{1}{9})(x — 1) \geq 0\)
Ответ: \((-\infty; \frac{1}{9}] \cup [1; +\infty)\)
2) \(16x^{2} — 8x + 1 \leq 0\)
\((4x — 1)^2 \leq 0\)
\(4x — 1 = 0\)
\(x = 0.25\)
Ответ: \(0.25\)
3) \(-3x^{2} + 2x — 7 < 0\)
\(3x^{2} — 2x + 7 > 0\)
\(D = 4 — 84 = -80 < 0\)
Ответ: \((-\infty; +\infty)\)
Область определения функции \(f(x) = \frac{\sqrt{14 + 5x — x^{2}}}{x^{2} + x — 6}\):
\(x^{2} + x — 6 \neq 0\)
Корни: \(-3, 2\)
\(14 + 5x — x^{2} \geq 0\)
Перепишем: \(-x^{2} + 5x + 14 \geq 0\)
\(x^{2} — 5x — 14 \leq 0\)
\(D = 25 + 56 = 81\)
\(x_1 = \frac{5 — 9}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{5 + 9}{2} = 7\)
Ответ: \([-2; 2) \cup (2; 7]\)
Система неравенств:
\(x^{2} — 2x + 3 > 0\)
\(D = 4 — 12 = -8 < 0\), значит \(x \in \mathbb{R}\)
\(|x — 1| \leq 4\)
\(-4 \leq x — 1 \leq 4\)
\(-3 \leq x \leq 5\)
Ответ: \([-3; 5]\)
4)
1) \((x + 11)(x — 3)(x + 4) < 0\)
Корни: \(-11, -4, 3\)
Ответ: \((-\infty; -11) \cup (-4; 3)\)
2) \((x + 1)(5 — x)(x + 4)^2 \geq 0\)
\((x + 1)(5 — x) \geq 0\)
Корни: \(-1, 5\)
Ответ: \(\{-4\} \cup [-1; 5]\)
3) \(\frac{8}{x — 1} — \frac{6}{x + 1} — \frac{x}{x — 3} \geq 0\)
Ответ: \((-\infty; -2] \cup (-1; 2] \cup (3; +\infty)\)
5)
1) \(|x^{2} + 3x + 1| < 2x + 3\)
Первое неравенство:
\(x^{2} + 3x + 1 > -2x — 3\)
\(x^{2} + 5x + 4 > 0\)
\(D = 25 — 16 = 9\)
\(x_1 = -4, \quad x_2 = -1\)
\((x + 4)(x + 1) > 0\)
Второе неравенство:
\(x^{2} + 3x + 1 < 2x + 3\)
\(x^{2} + x — 2 < 0\)
\(D = 1 + 8 = 9\)
\(x_1 = -2, \quad x_2 = 1\)
\((x + 2)(x — 1) < 0\)
Ответ: \((-1; 1)\)
2) \(|x^{2} + 2x — 10| > 4 — 3x\)
Первое неравенство:
\(x^{2} + 2x — 10 > 4 — 3x\)
\(x^{2} + 5x — 14 > 0\)
\(D = 25 + 56 = 81\)
\(x_1 = -7, \quad x_2 = 2\)
\((x + 7)(x — 2) > 0\)
Второе неравенство:
\(-x^{2} — 2x + 10 > 4 — 3x\)
\(x^{2} — x — 6 < 0\)
\(D = 1 + 24 = 25\)
\(x_1 = -2, \quad x_2 = 3\)
\((x + 2)(x — 3) < 0\)
Ответ: \((-\infty; -7) \cup (-2; +\infty)\)
6) Уравнение:
\(x^{2} — 4ax + 4a^{2} — a — 10 = 0\)
Дискриминант:
\(D = 16a^{2} — 4(4a^{2} — a — 10) = 4a + 40\)
Корни:
\(x = \frac{4a \pm \sqrt{4a + 40}}{2} = 2a \pm \frac{\sqrt{4a + 40}}{2}\)
Условие: оба корня меньше 1
\(2a + \frac{\sqrt{4a + 40}}{2} < 1\)
Решение: \(a \in [-10; -1)\)
1) Решаем неравенство \(9x^{2} — 10x + 1 \geq 0\).
Вычисляем дискриминант: \(D = (-10)^{2} — 4 \cdot 9 \cdot 1 = 100 — 36 = 64\).
Находим корни: \(x_1 = \frac{10 — 8}{2 \cdot 9} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}\), \(x_2 = \frac{10 + 8}{18} = 1\).
Поскольку коэффициент при \(x^{2}\) положительный, парабола направлена вверх, значит неравенство выполняется вне интервала между корнями.
Ответ: \((-\infty; \frac{1}{9}] \cup [1; +\infty)\).
2) Решаем неравенство \(16x^{2} — 8x + 1 \leq 0\).
Представим выражение как квадрат: \((4x — 1)^{2} \leq 0\).
Квадрат выражения равен нулю только при \(4x — 1 = 0\), значит \(x = 0.25\).
Ответ: \(0.25\).
3) Решаем неравенство \(-3x^{2} + 2x — 7 < 0\).
Перепишем: \(3x^{2} — 2x + 7 > 0\).
Вычисляем дискриминант: \(D = (-2)^{2} — 4 \cdot 3 \cdot 7 = 4 — 84 = -80 < 0\).
Поскольку дискриминант отрицательный и коэффициент при \(x^{2}\) положительный, выражение всегда положительно.
Ответ: \((-\infty; +\infty)\).
4) Находим область определения функции \(f(x) = \frac{\sqrt{14 + 5x — x^{2}}}{x^{2} + x — 6}\).
Подкоренное выражение должно быть неотрицательно: \(14 + 5x — x^{2} \geq 0\).
Перепишем: \(-x^{2} + 5x + 14 \geq 0\) или \(x^{2} — 5x — 14 \leq 0\).
Вычисляем дискриминант: \(D = (-5)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81\).
Корни: \(x_1 = \frac{5 — 9}{2} = -2\), \(x_2 = \frac{5 + 9}{2} = 7\).
Значит \(x \in [-2; 7]\).
Знаменатель не должен равняться нулю: \(x^{2} + x — 6 \neq 0\).
Корни знаменателя: \(x = -3\), \(x = 2\).
Область определения: \([-2; 2) \cup (2; 7]\).
5) Решаем систему неравенств:
\(x^{2} — 2x + 3 > 0\).
Вычисляем дискриминант: \(D = (-2)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 — 12 = -8 < 0\).
Парабола направлена вверх, значит выражение всегда положительно.
Второе неравенство: \(|x — 1| \leq 4\).
Раскрываем модуль: \(-4 \leq x — 1 \leq 4\).
Получаем: \(-3 \leq x \leq 5\).
Ответ: \([-3; 5]\).
6) Решаем неравенство \((x + 11)(x — 3)(x + 4) < 0\).
Корни: \(-11, -4, 3\).
Знаки меняются в этих точках.
Ответ: \((-\infty; -11) \cup (-4; 3)\).
7) Решаем неравенство \((x + 1)(5 — x)(x + 4)^{2} \geq 0\).
Квадрат всегда неотрицателен.
Рассмотрим \((x + 1)(5 — x) \geq 0\).
Корни: \(-1, 5\).
Ответ: \(\{-4\} \cup [-1; 5]\).
8) Решаем неравенство \(\frac{8}{x — 1} — \frac{6}{x + 1} — \frac{x}{x — 3} \geq 0\).
Область определения: \(x \neq 1, x \neq -1, x \neq 3\).
Приводим к общему знаменателю, упрощаем и исследуем знаки.
Ответ: \((-\infty; -2] \cup (-1; 2] \cup (3; +\infty)\).
9) Решаем неравенство \(|x^{2} + 3x + 1| < 2x + 3\).
Первое неравенство: \(x^{2} + 3x + 1 > -2x — 3\).
Перепишем: \(x^{2} + 5x + 4 > 0\).
Дискриминант: \(D = 25 — 16 = 9\).
Корни: \(-4, -1\).
Второе неравенство: \(x^{2} + 3x + 1 < 2x + 3\).
Перепишем: \(x^{2} + x — 2 < 0\).
Дискриминант: \(D = 1 + 8 = 9\).
Корни: \(-2, 1\).
Пересечение решений: \((-1; 1)\).
10) Решаем неравенство \(|x^{2} + 2x — 10| > 4 — 3x\).
Первое неравенство: \(x^{2} + 2x — 10 > 4 — 3x\).
Перепишем: \(x^{2} + 5x — 14 > 0\).
Дискриминант: \(D = 25 + 56 = 81\).
Корни: \(-7, 2\).
Второе неравенство: \(-x^{2} — 2x + 10 > 4 — 3x\).
Перепишем: \(x^{2} — x — 6 < 0\).
Дискриминант: \(D = 1 + 24 = 25\).
Корни: \(-2, 3\).
Ответ: \((-\infty; -7) \cup (-2; +\infty)\).
11) Решаем уравнение \(x^{2} — 4ax + 4a^{2} — a — 10 = 0\) при условии, что все корни меньше 1.
Вычисляем дискриминант: \(D = 16a^{2} — 4(4a^{2} — a — 10) = 4a + 40\).
Корни: \(x = \frac{4a \pm \sqrt{4a + 40}}{2} = 2a \pm \frac{\sqrt{4a + 40}}{2}\).
Условие: \(2a + \frac{\sqrt{4a + 40}}{2} < 1\).
Решаем неравенство с учётом области определения \(a \geq -10\).
Ответ: \(a \in [-10; -1)\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.