ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Контрольная работа 2 Вариант 2 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Решите неравенство:

1) \(8x^2 -9x+1 \leq 0\);

2) \(25x^2 +10x+1 > 0\);

3) \(-5x^2 +4x — 9 < 0\).

2. Найдите область определения функции \(f(x) = \frac{\sqrt{4 + 5x — x^2}}{x^2 + x — 6}\).

3. Решите систему неравенств \([x^2 + x — 2 > 0, |x -2| < 5]\).

4. Решите неравенство:

1) \((x+9)(x-2)(x+1) < 0\);

2) \((x+3)(1 — x)(x+ 6)^2 > 0\);

3) \(\frac{8}{x+2} — \frac{6}{x-5} — \frac{x}{x^2-3x-10} \geq 0\).

5. Решите неравенство:

1) \(|x^2 -12x +25| < 3x — 11\);

2) \(|x^2 +5x + 1| > 2x + 5\).

6. При каких значениях параметра \(a\) все корни уравнения \(x^2 — 2ax + a^2 — a — 10 = 0\) больше 2?

1) \(8x^{2} — 9x + 1 \leq 0\)

\(D = (-9)^{2} — 4 \cdot 8 \cdot 1 = 81 — 32 = 49\)

\(x_1 = \frac{9 — 7}{2 \cdot 8} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}, \quad x_2 = \frac{9 + 7}{2 \cdot 8} = \frac{16}{16} = 1\)

\((x — \frac{1}{8})(x — 1) \leq 0\), значит \(x \in [\frac{1}{8}; 1]\)

2) \(25x^{2} + 10x + 1 > 0\)

\((5x + 1)^{2} > 0\), при \(5x + 1 \neq 0\)

\(x \neq -\frac{1}{5} = -0,2\)

Ответ: \( (-\infty; -0,2) \cup (-0,2; +\infty) \)

3) \(-5x^{2} + 4x — 9 < 0\)

Перепишем: \(5x^{2} — 4x + 9 > 0\)

\(D = (-4)^{2} — 4 \cdot 5 \cdot 9 = 16 — 180 = -164 < 0\)

Значит, \(5x^{2} — 4x + 9 > 0\) для всех \(x\)

Ответ: \((-\infty; +\infty)\)

2. \(f(x) = \frac{\sqrt{4 + 5x — x^{2}}}{x^{2} + x — 6}\)

Область определения:

\(4 + 5x — x^{2} \geq 0\)
Перепишем: \(-x^{2} + 5x + 4 \geq 0\) или \(x^{2} — 5x — 4 \leq 0\)

\(D = (-5)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 25 + 16 = 41\)

\(x_1 = \frac{5 — \sqrt{41}}{2}, \quad x_2 = \frac{5 + \sqrt{41}}{2}\)

\(x^{2} + x — 6 \neq 0\)

Корни: \(x = -3, x = 2\)

Ответ: \(x \in [\frac{5 — \sqrt{41}}{2}; \frac{5 + \sqrt{41}}{2}] \setminus \{-3, 2\}\)

3. Система:

\(x^{2} + x — 2 > 0\)
\((x + 2)(x — 1) > 0\)
Значит \(x < -2\) или \(x > 1\)

\(|x — 2| < 5\)
\(-5 < x — 2 < 5\)
\(-3 < x < 7\)

Пересечение: \((-3; -2) \cup (1; 7)\)

4.

1) \((x + 9)(x — 2)(x + 1) < 0\)

Корни: \(-9, -1, 2\)

Ответ: \((-\infty; -9) \cup (-1; 2)\)

2) \((x + 3)(1 — x)(x + 6)^2 \geq 0\)

\((x + 3)(1 — x) \geq 0\)

Корни: \(-3, 1\)

Знак положительный на \([-3; 1]\)

Ответ: \(\{-6\} \cup [-3; 1]\)

3) \(\frac{8}{x + 2} — \frac{6}{x — 5} — \frac{x}{x^{2} — 3x — 10} \geq 0\)

Приведём к общему знаменателю:

\(\frac{8(x — 5) — 6(x + 2) — x}{(x + 2)(x — 5)} \geq 0\)

Числитель: \(8x — 40 — 6x — 12 — x = x — 52\)

Знаменатель: \((x + 2)(x — 5)\)

Неравенство: \(\frac{x — 52}{(x + 2)(x — 5)} \geq 0\)

Ответ: \([-2; 5) \cup [52; +\infty)\)

5.

1) \(|x^{2} — 12x + 25| < 3x — 11\)

Первое неравенство:

\(x^{2} — 15x + 36 < 0\)

Корни: \(3, 12\)

\(x \in (3; 12)\)

Второе:

\(x^{2} — 9x + 14 > 0\)

Корни: \(2, 7\)

\(x \in (-\infty; 2) \cup (7; +\infty)\)

Пересечение с \(3x — 11 > 0\), то есть \(x > \frac{11}{3}\)

Ответ: \((7; 12)\)

2) \(|x^{2} + 5x + 1| > 2x + 5\)

Первое:

\(x^{2} + 3x — 4 > 0\)

Корни: \(-4, 1\)

\(x \in (-\infty; -4) \cup (1; +\infty)\)

Второе:

\(x^{2} + 7x + 6 < 0\)

Корни: \(-6, -1\)

\(x \in (-6; -1)\)

Ответ: \((-\infty; -1) \cup (1; +\infty)\)

6. \(x^{2} — 2ax + a^{2} — a — 10 = 0\)

Дискриминант:

\(D = (2a)^{2} — 4(a^{2} — a — 10) = 4a^{2} — 4a^{2} + 4a + 40 = 4a + 40\)

Корни:

\(x = a \pm \frac{\sqrt{4a + 40}}{2}\)

Условие, чтобы оба корня были больше 2:

\(a — \frac{\sqrt{4a + 40}}{2} > 2\)

Решаем:

\(a — 2 > \frac{\sqrt{4a + 40}}{2}\)

\(2(a — 2) > \sqrt{4a + 40}\)

\(4(a — 2)^{2} > 4a + 40\)

\(4(a^{2} — 4a + 4) > 4a + 40\)

\(4a^{2} — 16a + 16 > 4a + 40\)

\(4a^{2} — 20a — 24 > 0\)

\(a^{2} — 5a — 6 > 0\)

\((a — 6)(a + 1) > 0\)

Ответ: \(a > 6\)

1) Решаем неравенство \(8x^{2} — 9x + 1 \leq 0\)

Вычисляем дискриминант:
\(D = (-9)^{2} — 4 \cdot 8 \cdot 1 = 81 — 32 = 49\)

Находим корни:
\(x_1 = \frac{9 — \sqrt{49}}{2 \cdot 8} = \frac{9 — 7}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}\)
\(x_2 = \frac{9 + \sqrt{49}}{2 \cdot 8} = \frac{9 + 7}{16} = \frac{16}{16} = 1\)

Поскольку коэффициент при \(x^{2}\) положительный, парабола направлена вверх, следовательно, неравенство \( \leq 0\) выполняется между корнями:
\(x \in [\frac{1}{8}; 1]\)

2) Решаем неравенство \(25x^{2} + 10x + 1 > 0\)

Представляем выражение как квадрат:
\(25x^{2} + 10x + 1 = (5x + 1)^{2}\)

Квадрат выражения всегда неотрицателен, он равен нулю при \(5x + 1 = 0\), то есть при \(x = -\frac{1}{5} = -0,2\)

Неравенство строго больше нуля, значит \(x \neq -0,2\)

Ответ:
\(x \in (-\infty; -0,2) \cup (-0,2; +\infty)\)

3) Решаем неравенство \(-5x^{2} + 4x — 9 < 0\) Переносим все в левую часть и меняем знак: \(5x^{2} — 4x + 9 > 0\)

Вычисляем дискриминант:
\(D = (-4)^{2} — 4 \cdot 5 \cdot 9 = 16 — 180 = -164 < 0\) Так как дискриминант отрицательный, парабола не пересекает ось \(x\), и при положительном коэффициенте при \(x^{2}\) выражение всегда положительно. Ответ: \(x \in (-\infty; +\infty)\) 2. Определяем область определения функции \(f(x) = \frac{\sqrt{4 + 5x — x^{2}}}{x^{2} + x — 6}\) Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(4 + 5x — x^{2} \geq 0\) Перепишем: \(-x^{2} + 5x + 4 \geq 0\) или \(x^{2} — 5x — 4 \leq 0\) Вычисляем дискриминант: \(D = (-5)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 25 + 16 = 41\) Находим корни: \(x_1 = \frac{5 — \sqrt{41}}{2}, \quad x_2 = \frac{5 + \sqrt{41}}{2}\) Знаменатель не должен равняться нулю: \(x^{2} + x — 6 \neq 0\) Корни знаменателя: \(x = -3, \quad x = 2\) Ответ: \(x \in [\frac{5 — \sqrt{41}}{2}; \frac{5 + \sqrt{41}}{2}] \setminus \{-3, 2\}\) 3. Решаем систему \(\begin{cases} x^{2} + x — 2 > 0 \\ |x — 2| < 5 \end{cases}\) Первое неравенство: \(x^{2} + x — 2 = (x + 2)(x — 1) > 0\)

Значит \(x < -2\) или \(x > 1\)

Второе неравенство:
\(|x — 2| < 5 \Rightarrow -5 < x — 2 < 5 \Rightarrow -3 < x < 7\)

Пересечение решений:
\((-3; -2) \cup (1; 7)\)

4.

1) Решаем неравенство \((x + 9)(x — 2)(x + 1) < 0\)

Корни: \(-9, -1, 2\)

Знак произведения меняется на каждом корне. Анализируем интервалы:

Ответ:
\(x \in (-\infty; -9) \cup (-1; 2)\)

2) Решаем неравенство \((x + 3)(1 — x)(x + 6)^{2} \geq 0\)

Так как \((x + 6)^{2} \geq 0\) всегда, знак зависит от \((x + 3)(1 — x) \geq 0\)

Корни: \(-3, 1\)

Знак положительный на интервале \([-3; 1]\)

Ответ:
\(x \in \{-6\} \cup [-3; 1]\)

3) Решаем неравенство \(\frac{8}{x + 2} — \frac{6}{x — 5} — \frac{x}{x^{2} — 3x — 10} \geq 0\)

Заметим, что \(x^{2} — 3x — 10 = (x + 2)(x — 5)\)

Приводим к общему знаменателю:
\(\frac{8(x — 5) — 6(x + 2) — x}{(x + 2)(x — 5)} \geq 0\)

Числитель:
\(8x — 40 — 6x — 12 — x = x — 52\)

Неравенство:
\(\frac{x — 52}{(x + 2)(x — 5)} \geq 0\)

Корни: \(x = -2, 5, 52\) (исключаем \(x = -2, 5\) из области определения)

Анализ знаков по интервалам:

Ответ:
\(x \in (-2; 5) \cup [52; +\infty)\)

5.

1) Решаем неравенство \(|x^{2} — 12x + 25| < 3x — 11\)

Рассматриваем два случая:

Случай 1:
\(x^{2} — 12x + 25 < 3x — 11\)

Переносим всё в левую часть:
\(x^{2} — 15x + 36 < 0\)

Вычисляем дискриминант:
\(D = (-15)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 36 = 225 — 144 = 81\)

Корни:
\(x_1 = \frac{15 — 9}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{15 + 9}{2} = 12\)

Решение:
\(x \in (3; 12)\)

Случай 2:
\(- (x^{2} — 12x + 25) < 3x — 11\)

Переносим всё в левую часть:
\(-x^{2} + 12x — 25 < 3x — 11\)

\( -x^{2} + 9x — 14 < 0\) Умножаем на -1, меняя знак неравенства: \(x^{2} — 9x + 14 > 0\)

Вычисляем дискриминант:
\(D = (-9)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 — 56 = 25\)

Корни:
\(x_1 = \frac{9 — 5}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{9 + 5}{2} = 7\)

Решение:
\(x \in (-\infty; 2) \cup (7; +\infty)\)

Условие \(3x — 11 > 0\) даёт \(x > \frac{11}{3}\)

Пересечение решений:
\(x \in (7; 12)\)

2) Решаем неравенство \(|x^{2} + 5x + 1| > 2x + 5\)

Рассматриваем два случая:

Случай 1:
\(x^{2} + 5x + 1 > 2x + 5\)

Переносим всё в левую часть:
\(x^{2} + 3x — 4 > 0\)

Вычисляем дискриминант:
\(D = 3^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25\)

Корни:
\(x_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1\)

Решение:
\(x \in (-\infty; -4) \cup (1; +\infty)\)

Случай 2:
\(- (x^{2} + 5x + 1) > 2x + 5\)

Переносим в левую часть:
\(-x^{2} — 5x — 1 > 2x + 5\)

\( -x^{2} — 7x — 6 > 0\)

Умножаем на -1, меняя знак:
\(x^{2} + 7x + 6 < 0\) Вычисляем дискриминант: \(D = 7^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 — 24 = 25\) Корни: \(x_1 = \frac{-7 — 5}{2} = -6, \quad x_2 = \frac{-7 + 5}{2} = -1\) Решение: \(x \in (-6; -1)\) Объединяем решения: \(x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)\) 6. Решаем уравнение \(x^{2} — 2ax + a^{2} — a — 10 = 0\) Вычисляем дискриминант: \(D = (2a)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (a^{2} — a — 10) = 4a^{2} — 4a^{2} + 4a + 40 = 4a + 40\) Корни уравнения: \(x = a \pm \frac{\sqrt{4a + 40}}{2}\) Условие существования корней: \(4a + 40 \geq 0 \Rightarrow a \geq -10\) Чтобы оба корня были больше 2, необходимо: \(a — \frac{\sqrt{4a + 40}}{2} > 2\)

Решаем:
\(a — 2 > \frac{\sqrt{4a + 40}}{2}\)

Умножаем обе части на 2:
\(2(a — 2) > \sqrt{4a + 40}\)

Возводим обе части в квадрат:
\(4(a — 2)^{2} > 4a + 40\)

Раскрываем скобки:
\(4(a^{2} — 4a + 4) > 4a + 40\)

\(4a^{2} — 16a + 16 > 4a + 40\)

Переносим всё в левую часть:
\(4a^{2} — 20a — 24 > 0\)

Делим на 4:
\(a^{2} — 5a — 6 > 0\)

Факторизуем:
\((a — 6)(a + 1) > 0\)

Решение:
\(a < -1\) или \(a > 6\)

Учитывая, что \(a \geq -10\), проверяем на \(a < -1\), но при этом корни не будут оба больше 2, проверка показывает, что подходит только \(a > 6\)

Ответ:
\(a > 6\)