ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Контрольная работа 3 Вариант 1 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Решите уравнение \(x^2 + 4x + y^2 — 8y + 20 = 0\).

2. Постройте график уравнения \(|y — 2| = |x^2 — 2|\).

3. Решите систему уравнений:

1) \(x + 2y = — 1\), \(3x^2 + 5xy = — 2\);

2) \(3xy-2=\frac{2}{y}\), \(2xy-1 = \frac{x^2}{y}\);

3) \(x^2 — 8xy + 2y^2 = 3\), \(x^2 + 4xy — 2y^2 = 1\).

4. При каких значениях параметра \(a\) система уравнений \(x^2 +(y-a)^2 =16\), \(y — 2|x+3 = 0\) имеет три решения?

1. \(x^2 + 4x + y^2 — 8y + 20 = 0\)

\((x^2 + 4x + 4) + (y^2 — 8y + 16) = -20 + 4 + 16\)

\((x + 2)^2 + (y — 4)^2 = 0\)

\(x = -2, y = 4\)

Ответ: \((-2; 4)\)

2. \(|y — x^2| = |x^2 — 2|\)

Первое уравнение: \(y — x^2 = x^2 — 2\), значит \(y = 2x^2 — 2\)

Второе уравнение: \(y — x^2 = 2 — x^2\), значит \(y = 2\)

3.1

\(\begin{cases} x + 2y = -1 \\ 3x^2 + 5xy = -2 \end{cases}\)

\(x = -1 — 2y\)

Подставляем:

\(3(-1 — 2y)^2 + 5(-1 — 2y)y = -2\)

\(3(1 + 4y + 4y^2) — 5y — 10y^2 = -2\)

\(3 + 12y + 12y^2 — 5y — 10y^2 = -2\)

\(2y^2 + 7y + 3 = -2\)

\(2y^2 + 7y + 5 = 0\)

Дискриминант \(D = 49 — 40 = 9\)

\(y_1 = \frac{-7 — 3}{4} = -2.5, y_2 = \frac{-7 + 3}{4} = -1\)

\(x_1 = -1 — 2(-2.5) = 4, x_2 = -1 — 2(-1) = 1\)

Ответ: \((4; -2.5), (1; -1)\)

3.2

\(\begin{cases} 3xy — 2 = \frac{x^3}{y} \\ 2xy — 1 = \frac{y^3}{x} \end{cases}\)

Перемножим:

\((3xy — 2)(2xy — 1) = x^2 y^2\)

\(6x^2 y^2 — 3xy — 4xy + 2 = x^2 y^2\)

\(5x^2 y^2 — 7xy + 2 = 0\)

Обозначим \(t = xy\):

\(5t^2 — 7t + 2 = 0\)

Дискриминант \(D = 49 — 40 = 9\)

\(t_1 = \frac{7 — 3}{10} = \frac{2}{5}, t_2 = \frac{7 + 3}{10} = 1\)

Для \(t_1 = \frac{2}{5}\):

\(x y = \frac{2}{5}, y = \frac{2}{5x}\)

Подставляем во второе уравнение:

\(2 \cdot \frac{2}{5} — 1 = \frac{y^3}{x}\)

\(\frac{4}{5} — 1 = \frac{\left(\frac{2}{5x}\right)^3}{x} = \frac{8}{125 x^4}\)

\(-\frac{1}{5} = \frac{8}{125 x^4}\)

\(x^4 = -0.32\), решений нет.

Для \(t_2 = 1\):

\(x y = 1, y = \frac{1}{x}\)

Подставляем:

\(2 \cdot 1 — 1 = \frac{y^3}{x} = \frac{\left(\frac{1}{x}\right)^3}{x} = \frac{1}{x^4}\)

\(1 = \frac{1}{x^4}\), значит \(x = \pm 1\)

Тогда \(y = \pm 1\)

Ответ: \((-1; -1), (1; 1)\)

3.3

\(\begin{cases} x^2 — 3xy + 2y^2 = 3 \\ x^2 + 4xy — 2y^2 = 1 \end{cases}\)

Умножим второе на 3:

\(3x^2 + 12xy — 6y^2 = 3\)

Вычислим разность:

\(2x^2 + 15xy — 8y^2 = 0\)

Рассмотрим как квадратное уравнение по \(x\):

\(2x^2 + 15xy — 8y^2 = 0\)

Дискриминант:

\(D = (15y)^2 + 64y^2 = 289 y^2\)

Корни:

\(x_1 = \frac{-15y — 17y}{4} = -8y\)

\(x_2 = \frac{-15y + 17y}{4} = \frac{y}{2}\)

Для \(x = -8y\):

\(( -8y )^2 — 3(-8y) y + 2 y^2 = 3\)

\(64 y^2 + 24 y^2 + 2 y^2 = 3\)

\(90 y^2 = 3\)

\(y^2 = \frac{1}{30}\)

\(y = \pm \frac{1}{\sqrt{30}}, x = \mp \frac{8}{\sqrt{30}}\)

Для \(x = \frac{y}{2}\):

\(\left(\frac{y}{2}\right)^2 — 3 \frac{y}{2} y + 2 y^2 = 3\)

\(\frac{y^2}{4} — \frac{3 y^2}{2} + 2 y^2 = 3\)

\(\frac{1 — 6 + 8}{4} y^2 = 3\)

\(\frac{3}{4} y^2 = 3\)

\(y^2 = 4\)

\(y = \pm 2, x = \pm 1\)

Ответ: \((-1; -2), \left(-\frac{8}{\sqrt{30}}; \frac{1}{\sqrt{30}}\right), (1; 2), \left(\frac{8}{\sqrt{30}}; -\frac{1}{\sqrt{30}}\right)\)

4. Система:

\(\begin{cases} x^2 + (y — a)^2 = 16 \\ y — 2|x| + 3 = 0 \end{cases}\)

Второе уравнение:

\(y = 2|x| — 3\)

Подставим в первое:

\(x^2 + (2|x| — 3 — a)^2 = 16\)

Для трёх решений:

\(a — 4 = -3\)

\(a = 1\)

Ответ: \(1\)

1. Рассмотрим уравнение \(x^2 + 4x + y^2 — 8y + 20 = 0\). Группируем квадраты: \((x^2 + 4x) + (y^2 — 8y) + 20 = 0\). Добавим и вычтем для выделения полных квадратов: \((x^2 + 4x + 4) — 4 + (y^2 — 8y + 16) — 16 + 20 = 0\). Перепишем: \((x + 2)^2 + (y — 4)^2 — 4 — 16 + 20 = 0\). Получаем: \((x + 2)^2 + (y — 4)^2 = 0\). Радиус равен нулю, значит единственная точка: \(x = -2, y = 4\).

2. Уравнение \(|y — x^2| = |x^2 — 2|\) распадается на два случая: первый — \(y — x^2 = x^2 — 2\), откуда \(y = 2x^2 — 2\); второй — \(y — x^2 = -(x^2 — 2)\), откуда \(y = 2\). Значит график состоит из параболы \(y = 2x^2 — 2\) и прямой \(y = 2\).

3.1. Система \(\begin{cases} x + 2y = -1 \\ 3x^2 + 5xy = -2 \end{cases}\). Из первого уравнения выразим \(x = -1 — 2y\). Подставим во второе: \(3(-1 — 2y)^2 + 5(-1 — 2y) y = -2\). Раскроем скобки: \(3(1 + 4y + 4y^2) — 5y — 10y^2 = -2\). Упростим: \(3 + 12y + 12y^2 — 5y — 10y^2 = -2\), или \(2y^2 + 7y + 3 = -2\). Переносим: \(2y^2 + 7y + 5 = 0\). Дискриминант \(D = 49 — 40 = 9\). Корни: \(y_1 = \frac{-7 — 3}{4} = -\frac{10}{4} = -2.5\), \(y_2 = \frac{-7 + 3}{4} = -1\). Найдём \(x\): \(x_1 = -1 — 2(-2.5) = 4\), \(x_2 = -1 — 2(-1) = 1\). Ответ: \((4; -2.5), (1; -1)\).

3.2. Система \(\begin{cases} 3xy — 2 = \frac{x^3}{y} \\ 2xy — 1 = \frac{y^3}{x} \end{cases}\). Перемножим левую и правую части уравнений: \((3xy — 2)(2xy — 1) = \frac{x^3}{y} \cdot \frac{y^3}{x} = x^2 y^2\). Раскроем скобки: \(6x^2 y^2 — 3xy — 4xy + 2 = x^2 y^2\). Переносим всё в левую часть: \(5x^2 y^2 — 7xy + 2 = 0\). Обозначим \(t = xy\), получаем квадратное уравнение: \(5t^2 — 7t + 2 = 0\). Дискриминант \(D = 49 — 40 = 9\). Корни: \(t_1 = \frac{7 — 3}{10} = \frac{2}{5}\), \(t_2 = \frac{7 + 3}{10} = 1\).

Для \(t_1 = \frac{2}{5}\): \(xy = \frac{2}{5}\), значит \(y = \frac{2}{5x}\). Подставим во второе уравнение: \(2 \cdot \frac{2}{5} — 1 = \frac{y^3}{x} = \frac{\left(\frac{2}{5x}\right)^3}{x} = \frac{8}{125 x^4}\). Левая часть: \(\frac{4}{5} — 1 = -\frac{1}{5}\). Получаем: \(-\frac{1}{5} = \frac{8}{125 x^4}\), откуда \(x^4 = -\frac{8 \cdot 5}{125} = -\frac{40}{125} = -0.32\). Нет действительных решений.

Для \(t_2 = 1\): \(xy = 1\), значит \(y = \frac{1}{x}\). Подставим во второе уравнение: \(2 \cdot 1 — 1 = \frac{y^3}{x} = \frac{\left(\frac{1}{x}\right)^3}{x} = \frac{1}{x^4}\). Получаем: \(1 = \frac{1}{x^4}\), значит \(x^4 = 1\), откуда \(x = \pm 1\), тогда \(y = \pm 1\).

Ответ: \((-1; -1), (1; 1)\).

3.3. Система \(\begin{cases} x^2 — 3xy + 2y^2 = 3 \\ x^2 + 4xy — 2y^2 = 1 \end{cases}\). Умножим второе уравнение на 3: \(3x^2 + 12xy — 6y^2 = 3\). Вычтем первое уравнение из этого: \((3x^2 + 12xy — 6y^2) — (x^2 — 3xy + 2y^2) = 3 — 3\). Получаем: \(2x^2 + 15xy — 8y^2 = 0\). Рассмотрим как квадратное уравнение по \(x\): \(2x^2 + 15xy — 8y^2 = 0\). Дискриминант: \(D = (15y)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-8y^2) = 225 y^2 + 64 y^2 = 289 y^2\). Корни: \(x_1 = \frac{-15y — 17y}{4} = -8y\), \(x_2 = \frac{-15y + 17y}{4} = \frac{y}{2}\).

Для \(x = -8y\): подставим в первое уравнение: \((-8y)^2 — 3(-8y) y + 2 y^2 = 3\), получаем: \(64 y^2 + 24 y^2 + 2 y^2 = 3\), значит \(90 y^2 = 3\), откуда \(y^2 = \frac{1}{30}\), значит \(y = \pm \frac{1}{\sqrt{30}}\), тогда \(x = \mp \frac{8}{\sqrt{30}}\).

Для \(x = \frac{y}{2}\): подставим в первое уравнение: \(\left(\frac{y}{2}\right)^2 — 3 \cdot \frac{y}{2} \cdot y + 2 y^2 = 3\), упрощаем: \(\frac{y^2}{4} — \frac{3 y^2}{2} + 2 y^2 = 3\), приводим к общему знаменателю: \(\frac{1 — 6 + 8}{4} y^2 = 3\), значит \(\frac{3}{4} y^2 = 3\), откуда \(y^2 = 4\), значит \(y = \pm 2\), тогда \(x = \pm 1\).

Ответ: \((-1; -2), \left(-\frac{8}{\sqrt{30}}; \frac{1}{\sqrt{30}}\right), (1; 2), \left(\frac{8}{\sqrt{30}}; -\frac{1}{\sqrt{30}}\right)\).

4. Система \(\begin{cases} x^2 + (y — a)^2 = 16 \\ y — 2|x| + 3 = 0 \end{cases}\). Из второго уравнения выразим \(y = 2|x| — 3\). Подставим в первое: \(x^2 + (2|x| — 3 — a)^2 = 16\). Рассмотрим график функции \(f(x) = x^2 + (2|x| — 3 — a)^2\). Для того, чтобы система имела ровно три решения, график должен касаться окружности в одной точке и пересекать её в двух других. Условие касания: \(a — 4 = -3\), откуда \(a = 1\).

Ответ: \(1\).