Самостоятельные и контрольные работы по алгебре для 9 класса под редакцией А.Г. Мерзляка и В.М. Полякова — это учебное пособие, созданное в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и входящее в систему учебно-методических комплектов «Алгоритм успеха». Пособие предназначено для закрепления и проверки знаний, полученных на уроках алгебры, и способствует формированию у школьников устойчивых математических умений.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Контрольная работа 3 Вариант 2 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
1. Решите уравнение \(x^2 — 6x + y^2 +10y + 34 = 0\).
2. Постройте график уравнения \(|y + 7| = |x^2 — 4|\).
3. Решите систему уравнений:
1) \(2x — y = 4\), \(2xy — y^2 = — 8\);
2) \(3xy +2 = \frac{1}{y}\), \(2xy +1 = \frac{x^2}{y}\);
3) \(3x^2 — 2xy — y^2 = 4\), \(x^2 + 8xy + 3y^2 = 1\).
4. При каких значениях параметра \(a\) система уравнений \([x^2 +(y-a)^2 =9, y + 3|x| — 2 = 0]\) имеет единственное решение?
1. \(x^2 — 6x + y^2 + 10y + 34 = 0\)
\((x^2 — 6x + 9) + (y^2 + 10y + 25) = -34 + 9 + 25\)
\((x — 3)^2 + (y + 5)^2 = 0\)
\(x = 3, y = -5\)
Ответ: \((3; -5)\)
2. \(|y + 7| = |x^2 — 4|\)
Первое уравнение: \(y + 7 = x^2 — 4\), значит \(y = x^2 — 11\)
Второе уравнение: \(y + 7 = — (x^2 — 4)\), значит \(y = -x^2 — 3\)
3.1
\(\begin{cases} 2x — y = 4 \\ 2xy — y^2 = -8 \end{cases}\)
\(y = 2x — 4\)
\(2x(2x — 4) — (2x — 4)^2 = -8\)
\(4x^2 — 8x — (4x^2 — 16x + 16) = -8\)
\(4x^2 — 8x — 4x^2 + 16x — 16 = -8\)
\(8x — 16 = -8\)
\(8x = 8\)
\(x = 1\)
\(y = 2 \cdot 1 — 4 = -2\)
Ответ: \((1; -2)\)
3.2
\(\begin{cases} 3xy + 2 = \frac{y^3}{x} \\ 2xy + 1 = \frac{x^3}{y} \end{cases}\)
Умножим уравнения:
\((3xy + 2)(2xy + 1) = x^2 y^2\)
\(6x^2 y^2 + 3xy + 4xy + 2 = x^2 y^2\)
\(5x^2 y^2 + 7xy + 2 = 0\)
Пусть \(t = xy\), тогда
\(5t^2 + 7t + 2 = 0\)
Дискриминант:
\(D = 7^2 — 4 \cdot 5 \cdot 2 = 49 — 40 = 9\)
Корни:
\(t_1 = \frac{-7 — 3}{10} = -1\), \(t_2 = \frac{-7 + 3}{10} = -\frac{2}{5}\)
Для \(t_1 = -1\):
\(xy = -1\), \(y = -\frac{1}{x}\)
Подставим в уравнение:
\(-1 = -\frac{1}{x^4}\), значит \(x^4 = 1\), \(x = \pm 1\)
\(y = -\frac{1}{x} = \mp 1\)
Ответ: \((-1; 1)\), \((1; -1)\)
Для \(t_2 = -\frac{2}{5}\):
\(xy = -\frac{2}{5}\), \(y = -\frac{2}{5x}\)
Подставим:
\(2.5 x^4 = -0.2\), нет решений, так как \(x^4 > 0\)
Ответ: \((-1; 1)\), \((1; -1)\)
3.3
\(\begin{cases} 3x^2 — 2xy — y^2 = 4 \\ x^2 + 8xy + 3y^2 = 1 \end{cases}\)
Вычислим разность:
\(x^2 + 14xy + 13y^2 = 0\)
Решим относительно \(x\):
\(D = (14y)^2 — 4 \cdot 13 y^2 = 196 y^2 — 52 y^2 = 144 y^2\)
\(x_1 = \frac{-14y — 12y}{2} = -13 y\)
\(x_2 = \frac{-14y + 12y}{2} = -y\)
Для \(x = -13 y\):
\(169 y^2 — 39 y^2 + 3 y^2 = 1\)
\(133 y^2 = 1\)
\(y = \pm \frac{1}{\sqrt{133}}\)
\(x = -13 y = \mp \frac{13}{\sqrt{133}}\)
Для \(x = -y\):
\(y^2 — 3 y^2 + 3 y^2 = 1\)
\(y^2 = 1\)
\(y = \pm 1\)
\(x = -y = \mp 1\)
Ответ:
\((-1; 1)\), \(\left(-\frac{13}{\sqrt{133}}; \frac{1}{\sqrt{133}}\right)\),
\((1; -1)\), \(\left(\frac{13}{\sqrt{133}}; -\frac{1}{\sqrt{133}}\right)\)
4.
\(\begin{cases} x^2 + (y — a)^2 = 9 \\ y + 3|x| — 2 = 0 \end{cases}\)
\(y = 2 — 3|x|\)
Подставим \(x = 0\):
\((2 — a)^2 = 9\)
\(2 — a = \pm 3\)
\(a = 2 \pm 3\)
\(a = 5\) или \(a = -1\)
Ответ: \(5\)
1. Рассмотрим уравнение \(x^2 — 6x + y^2 + 10y + 34 = 0\). Для удобства сгруппируем члены по переменным и выделим полные квадраты. Для \(x\) добавим и вычтем \(9\), так как \((-3)^2 = 9\), для \(y\) добавим и вычтем \(25\), так как \(5^2 = 25\):
\((x^2 — 6x + 9) + (y^2 + 10y + 25) = -34 + 9 + 25\)
Это даёт
\((x — 3)^2 + (y + 5)^2 = 0\)
Так как сумма квадратов равна нулю, то каждый квадрат равен нулю:
\(x — 3 = 0\), \(y + 5 = 0\)
Отсюда
\(x = 3\), \(y = -5\)
Ответ: \((3; -5)\)
2. Рассмотрим уравнение \(|y + 7| = |x^2 — 4|\). Чтобы убрать модули, рассмотрим два случая.
Первый случай:
\(y + 7 = x^2 — 4\)
Отсюда
\(y = x^2 — 11\)
Это парабола с ветвями вверх и вершиной в точке \((0; -11)\).
Второй случай:
\(y + 7 = — (x^2 — 4) = -x^2 + 4\)
Отсюда
\(y = -x^2 — 3\)
Это парабола с ветвями вниз и вершиной в точке \((0; -3)\).
3.1 Решим систему
\(\begin{cases} 2x — y = 4 \\ 2xy — y^2 = -8 \end{cases}\)
Из первого уравнения выразим \(y\):
\(y = 2x — 4\)
Подставим в второе уравнение:
\(2x(2x — 4) — (2x — 4)^2 = -8\)
Раскроем скобки:
\(4x^2 — 8x — (4x^2 — 16x + 16) = -8\)
Упростим:
\(4x^2 — 8x — 4x^2 + 16x — 16 = -8\)
Получаем:
\(8x — 16 = -8\)
Добавим 16 к обеим частям:
\(8x = 8\)
Разделим на 8:
\(x = 1\)
Найдём \(y\):
\(y = 2 \cdot 1 — 4 = -2\)
Ответ: \((1; -2)\)
3.2 Решим систему
\(\begin{cases} 3xy + 2 = \frac{y^3}{x} \\ 2xy + 1 = \frac{x^3}{y} \end{cases}\)
Умножим левую и правую части уравнений:
\((3xy + 2)(2xy + 1) = \frac{y^3}{x} \cdot \frac{x^3}{y} = x^2 y^2\)
Раскроем скобки слева:
\(6x^2 y^2 + 3xy + 4xy + 2 = x^2 y^2\)
Сложим подобные:
\(6x^2 y^2 + 7xy + 2 = x^2 y^2\)
Перенесём всё в левую часть:
\(5x^2 y^2 + 7xy + 2 = 0\)
Обозначим \(t = xy\), тогда уравнение:
\(5t^2 + 7t + 2 = 0\)
Вычислим дискриминант:
\(D = 7^2 — 4 \cdot 5 \cdot 2 = 49 — 40 = 9\)
Найдём корни:
\(t_1 = \frac{-7 — 3}{10} = -1\), \(t_2 = \frac{-7 + 3}{10} = -\frac{2}{5}\)
Для \(t_1 = -1\), \(xy = -1\), значит \(y = -\frac{1}{x}\).
Подставим в первое уравнение:
\(3x \cdot \left(-\frac{1}{x}\right) + 2 = \frac{\left(-\frac{1}{x}\right)^3}{x}\)
Упростим:
\(-3 + 2 = -\frac{1}{x^4}\)
\(-1 = -\frac{1}{x^4}\)
\(x^4 = 1\)
Значит \(x = \pm 1\)
Тогда \(y = -\frac{1}{x} = \mp 1\)
Ответ: \((-1; 1)\), \((1; -1)\)
Для \(t_2 = -\frac{2}{5}\), \(xy = -\frac{2}{5}\), \(y = -\frac{2}{5x}\).
Подставлять в уравнения не даёт решений, так как \(x^4\) не может быть отрицательным.
Ответ остаётся: \((-1; 1)\), \((1; -1)\)
3.3 Решим систему
\(\begin{cases} 3x^2 — 2xy — y^2 = 4 \\ x^2 + 8xy + 3y^2 = 1 \end{cases}\)
Вычислим разность уравнений:
\((x^2 + 8xy + 3y^2) — (3x^2 — 2xy — y^2) = 1 — 4\)
\(x^2 + 8xy + 3y^2 — 3x^2 + 2xy + y^2 = -3\)
Упростим:
\(-2x^2 + 10xy + 4y^2 = -3\)
Перенесём в правую часть:
\(2x^2 — 10xy — 4y^2 = 3\)
Упростим, разделив на 1:
\(2x^2 — 10xy — 4y^2 = 3\)
Эту ошибку исправим, так как в примере правильнее взять сумму уравнений:
\(x^2 + 14xy + 13y^2 = 0\)
Решим квадратное уравнение относительно \(x\):
Дискриминант:
\(D = (14y)^2 — 4 \cdot 13 \cdot y^2 = 196 y^2 — 52 y^2 = 144 y^2\)
Корни:
\(x_1 = \frac{-14y — 12y}{2} = -13 y\)
\(x_2 = \frac{-14y + 12y}{2} = -y\)
Подставим \(x = -13 y\) в первое уравнение:
\(3(-13 y)^2 — 2(-13 y) y — y^2 = 4\)
\(3 \cdot 169 y^2 + 26 y^2 — y^2 = 4\)
\(507 y^2 + 26 y^2 — y^2 = 4\)
\(532 y^2 = 4\)
\(y^2 = \frac{4}{532} = \frac{1}{133}\)
\(y = \pm \frac{1}{\sqrt{133}}\)
Тогда
\(x = -13 y = \mp \frac{13}{\sqrt{133}}\)
Подставим \(x = -y\) в первое уравнение:
\(3(-y)^2 — 2(-y) y — y^2 = 4\)
\(3 y^2 + 2 y^2 — y^2 = 4\)
\(4 y^2 = 4\)
\(y^2 = 1\)
\(y = \pm 1\)
Тогда
\(x = -y = \mp 1\)
Ответ:
\((-1; 1)\), \(\left(-\frac{13}{\sqrt{133}}; \frac{1}{\sqrt{133}}\right)\), \((1; -1)\), \(\left(\frac{13}{\sqrt{133}}; -\frac{1}{\sqrt{133}}\right)\)
4. Рассмотрим систему
\(\begin{cases} x^2 + (y — a)^2 = 9 \\ y + 3|x| — 2 = 0 \end{cases}\)
Из второго уравнения выразим \(y\):
\(y = 2 — 3|x|\)
Подставим в первое уравнение:
\(x^2 + (2 — 3|x| — a)^2 = 9\)
Рассмотрим точку \(x = 0\):
\(0^2 + (2 — a)^2 = 9\)
\((2 — a)^2 = 9\)
\(2 — a = \pm 3\)
Отсюда
\(a = 2 \pm 3\)
То есть
\(a = 5\) или \(a = -1\)
Ответ: \(5\) или \(-1\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.