ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Контрольная работа 4 Вариант 1 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Изобразите график неравенств:

1) \(x-4y >8\);

2) \((x-1)^2 + y^2 < 4\).

2. Изобразите на координатной плоскости \(xy\) множество решений системы неравенств \(|x| < 2\), \(y > 3\).

3. Задайте системой неравенств фигуру, изображённую на рисунке 9.

4. Докажите неравенство \(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + 1 > -3xy^2 — x + 3y^2\).

5. Известно, что \(a > 0\), \(b > 0\) и \(2a + 3b = 12\). Найдите наибольшее значение выражения \(ab\).

6. При каких значениях параметра \(a\) система неравенств \(x^2-2x-a+3 \geq 0\), \(a-x \geq 3\) имеет решение?

7. Докажите неравенство \(\sqrt{1+3x + \sqrt{6-2x + \sqrt{5-x}}} < 6\).

1) \(x — 4y \geq 8\) значит \(y \leq \frac{x}{4} — 2\).

2) \((x-1)^2 + y^2 \leq 4\) — круг с центром в (1, 0) и радиусом 2.

3) \(|x| < 2\) значит \(-2 < x < 2\), \(y > 3\).

4) \(y \geq x^2\), \(y \leq 4\).

5) \(x^2 + 9y^4 + 1 \geq -3xy^2 — x + 3y^2\).

Переносим влево: \(x^2 + 9y^4 + 1 + 3xy^2 + x — 3y^2 \geq 0\).

Раскладываем: \((x+1)^2 + (3y^2 — 1)^2 + (x + 3y^2)^2 \geq 0\).

6) \(a > 0, b > 0, 2a + 3b = 12\).

По неравенству Коши: \(12 = 2a + 3b \geq 2 \sqrt{6ab}\).

Отсюда \(6 \geq \sqrt{6ab}\), значит \(ab \leq 6\).

Ответ: 6.

7) Система:

\(x^2 — 2x — a + 3 \leq 0\), \(a — x \leq 3\).

Второе: \(x \geq a — 3\).

Дискриминант первого: \(D = 4(a — 2)\).

Корни: \(x_1 = 1 — \sqrt{a — 2}\), \(x_2 = 1 + \sqrt{a — 2}\).

Условие: \(x_2 \geq a — 3\).

Решаем: \(1 + \sqrt{a — 2} \geq a — 3\).

Получаем \(a \in [2; 6]\).

8) Доказать: \(S = \sqrt{1 + 3x + \sqrt{6 — 2x + \sqrt{5 — x}}} \leq 6\).

Возводим в квадрат: \(S^2 \leq 36\).

Используем неравенство Коши:

\(S^2 \leq (1 + 3x + 6 — 2x + 5 — x)(1 + 1 + 1) = 12 \cdot 3 = 36\).

Значит \(S \leq 6\).

1) Рассмотрим неравенство \(x — 4y \geq 8\). Перенесём \(x\) в правую часть: \(-4y \geq 8 — x\). Делим обе части на \(-4\), меняя знак неравенства: \(y \leq \frac{x}{4} — 2\). Аналогично второе и третье неравенства дают ту же границу \(y \leq \frac{x}{4} — 2\). Значит, область решения — все точки под прямой \(y = \frac{x}{4} — 2\).

2) Неравенство \((x — 1)^2 + y^2 \leq 4\) описывает круг с центром в точке \((1, 0)\) и радиусом 2. Все точки внутри круга и на его границе удовлетворяют этому неравенству.

3) Для системы \(|x| < 2\) и \(y > 3\) сначала распишем \(|x| < 2\) как \(-2 < x < 2\). Значит, \(x\) находится между -2 и 2. Второе неравенство означает, что \(y\) больше 3. Искомая область — прямоугольная полоса между вертикальными линиями \(x = -2\) и \(x = 2\), расположенная выше горизонтальной линии \(y = 3\).

4) На рисунке изображена фигура, ограниченная параболой \(y = x^2\) снизу и прямой \(y = 4\) сверху. Значит система неравенств: \(y \geq x^2\) и \(y \leq 4\).

5) Докажем неравенство \(x^2 + 9y^{4} + 1 \geq -3xy^{2} — x + 3y^{2}\). Перенесём все в левую часть: \(x^2 + 9y^{4} + 1 + 3xy^{2} + x — 3y^{2} \geq 0\). Группируем слагаемые: \((x + 1)^2 + (3y^{2} — 1)^2 + (x + 3y^{2})^2 \geq 0\). Сумма квадратов всегда неотрицательна, значит исходное неравенство верно.

6) Найдём максимальное значение произведения \(ab\) при условиях \(a > 0\), \(b > 0\), \(2a + 3b = 12\). По неравенству Коши: \(2a + 3b = 12 \geq 2 \sqrt{6ab}\). Отсюда \(6 \geq \sqrt{6ab}\), возводим в квадрат: \(36 \geq 6ab\), значит \(ab \leq 6\). Максимальное значение \(ab = 6\).

7) Рассмотрим систему \(x^2 — 2x — a + 3 \leq 0\) и \(a — x \leq 3\). Второе неравенство даёт \(x \geq a — 3\). Дискриминант первого: \(D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-a + 3) = 4 + 4a — 12 = 4(a — 2)\). Корни: \(x_1 = 1 — \sqrt{a — 2}\), \(x_2 = 1 + \sqrt{a — 2}\). Решение первого неравенства — промежуток \([x_1; x_2]\). Для существования решения всей системы нужно пересечение с \(x \geq a — 3\), то есть \(x_2 \geq a — 3\). Подставляем: \(1 + \sqrt{a — 2} \geq a — 3\). Решая, получаем \(a \in [2; 6]\).

8) Докажем неравенство \(S = \sqrt{1 + 3x + \sqrt{6 — 2x + \sqrt{5 — x}}} \leq 6\). Возводим в квадрат: \(S^2 \leq 36\). Используем неравенство Коши: \(S^2 \leq (1 + 3x + 6 — 2x + 5 — x)(1 + 1 + 1) = 12 \cdot 3 = 36\). Значит, \(S \leq 6\).