Самостоятельные и контрольные работы по алгебре для 9 класса под редакцией А.Г. Мерзляка и В.М. Полякова — это учебное пособие, созданное в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и входящее в систему учебно-методических комплектов «Алгоритм успеха». Пособие предназначено для закрепления и проверки знаний, полученных на уроках алгебры, и способствует формированию у школьников устойчивых математических умений.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Контрольная работа 4 Вариант 2 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
1. Изобразите график неравенств:
1) \(y — 3x > 6\);
2) \((x-1)^2 + y^2 < 9\).
2. Изобразите на координатной плоскости \(xy\) множество решений системы неравенств \(|x| < 2\), \(y > 3\).
3. Задайте системой неравенств фигуру, изображённую на рисунке 10.
4. Докажите неравенство \(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + 1 > -2x^2 + 3y^2 — 6y\).
5. Известно, что \(a > 0\), \(b > 0\) и \(3a + 5b = 30\). Найдите наибольшее значение выражения \(ab\).
6. При каких значениях параметра \(a\) система неравенств \([x^2+4x-a+5 < 0, |a-x| < 5]\) имеет решение?
7. Докажите неравенство \(\sqrt{1+3x + \sqrt{6-2x + \sqrt{5-x}}} < 6\).
1) \(y — 3x \geq 6 \Rightarrow y \geq 3x + 6\). Рисуем прямую \(y = 3x + 6\) и закрашиваем область выше неё.
2) \((x — 1)^2 + y^2 \leq 9\). Это круг с центром в точке \((1, 0)\) и радиусом 3. Закрашиваем внутренность круга.
3) \(|x| < 2 \Rightarrow -2 < x < 2\), \(y > 3\). Закрашиваем вертикальную полосу между \(x = -2\) и \(x = 2\) выше линии \(y = 3\).
4) Фигура задана системой: \(y \leq x^2\), \(y \geq -1\).
5) Докажем неравенство: \(x^4 + 4y^2 + 9 \geq -2x^2 y + 3x^2 — 6y\).
Переносим все в левую часть:
\(x^4 + 4y^2 + 9 + 2x^2 y — 3x^2 + 6y \geq 0\).
Группируем:
\((x^2 — 3x)^2 + (x^2 + 2y)^2 + (2y + 3)^2 \geq 0\).
Сумма квадратов неотрицательна, значит неравенство верно.
6) Найдём максимум \(ab\) при \(a > 0\), \(b > 0\), \(3a + 5b = 30\).
По неравенству Коши:
\(3a + 5b \geq 2 \sqrt{3a \cdot 5b} = 2 \sqrt{15ab}\).
Подставляем 30:
\(30 \geq 2 \sqrt{15ab} \Rightarrow 15ab \leq 225 \Rightarrow ab \leq 15\).
Максимум \(ab = 15\).
7) Система:
\(\begin{cases} x^2 + 4x — a + 5 \leq 0 \\ |a — x| \leq 5 \end{cases}\).
Второе: \(a — x \leq 5 \Rightarrow x \geq a — 5\).
Первое: дискриминант \(D = 4a — 4\).
Корень \(x_2 = -2 + \sqrt{a — 1}\).
Условие: \(x_2 \geq a — 5\).
Получаем:
\(\sqrt{a — 1} — 2 \geq a — 5\).
Преобразуем:
\(a^2 — 7a + 10 \leq 0\).
Корни: \(a_1 = 2\), \(a_2 = 5\).
Область решения: \(2 \leq a \leq 5\).
С учётом области определения \(a \geq 1\), ответ: \(a \in [1, 5]\).
8) Докажем неравенство:
\(S = \sqrt{1 — 3x + \sqrt{6 + 2x + \sqrt{6 + x}}} \leq 6\).
Возводим в квадрат:
\(S^2 \leq 36\).
По неравенству Коши:
\((1 — 3x + 6 + 2x + 6 + x)(1 + 1 + 1) = 3 \cdot 12 = 36\).
Значит \(S \leq 6\). Что и требовалось доказать.
1. Неравенство \(y — 3x \geq 6\) можно переписать как \(y \geq 3x + 6\). Это прямая с угловым коэффициентом 3 и сдвигом по оси \(y\) на 6 вверх. Чтобы построить график, рисуем линию \(y = 3x + 6\) и закрашиваем область выше этой линии, включая саму прямую.
2. Неравенство \((x — 1)^2 + y^2 \leq 9\) задаёт круг с центром в точке \((1, 0)\) и радиусом 3. Для построения графика рисуем окружность с радиусом 3 вокруг точки \((1, 0)\) и закрашиваем всю внутреннюю область, включая границу.
3. Система неравенств \(|x| < 2\) и \(y > 3\) задаёт область между вертикальными линиями \(x = -2\) и \(x = 2\), но без включения этих линий, и выше линии \(y = 3\), без её включения. Таким образом, область решения — это вертикальная полоса шириной 4, расположенная выше \(y = 3\).
4. Система, задающая фигуру на рисунке 10, имеет вид: \(y \leq x^2\) и \(y \geq -1\). Верхняя граница — парабола \(y = x^2\), нижняя — прямая \(y = -1\). Область — все точки между этой параболой и прямой, включая границы.
5. Докажем неравенство \(x^{4} + 4y^{2} + 9 \geq -2x^{2} y + 3x^{2} — 6y\). Переносим все в левую часть: \(x^{4} + 4y^{2} + 9 + 2x^{2} y — 3x^{2} + 6y \geq 0\). Группируем слагаемые: \((x^{2} — 3x)^{2} + (x^{2} + 2y)^{2} + (2y + 3)^{2} \geq 0\). Поскольку сумма квадратов всегда неотрицательна, неравенство верно.
6. Найдём максимальное значение произведения \(ab\) при \(a > 0\), \(b > 0\), и условии \(3a + 5b = 30\). По неравенству Коши: \(3a + 5b \geq 2 \sqrt{3a \cdot 5b} = 2 \sqrt{15ab}\). Подставляем \(3a + 5b = 30\): \(30 \geq 2 \sqrt{15ab}\). Возводим в квадрат: \(225 \geq 15ab\). Отсюда \(ab \leq 15\). Максимум \(ab = 15\).
7. Рассмотрим систему: \(x^{2} + 4x — a + 5 \leq 0\) и \(|a — x| \leq 5\). Второе неравенство даёт \(a — x \leq 5 \Rightarrow x \geq a — 5\). Первое — квадратное неравенство с дискриминантом \(D = 4a — 4\), значит \(a \geq 1\). Верхний корень: \(x_{2} = -2 + \sqrt{a — 1}\). Условие пересечения: \(x_{2} \geq a — 5\), то есть \(\sqrt{a — 1} — 2 \geq a — 5\). Переносим: \(\sqrt{a — 1} \geq a — 3\). Возводим обе части в квадрат: \(a — 1 \geq (a — 3)^{2} = a^{2} — 6a + 9\). Переносим всё в левую часть: \(0 \geq a^{2} — 7a + 10\). Решаем квадратное неравенство: \(a^{2} — 7a + 10 \leq 0\). Корни: \(a = 2\) и \(a = 5\). Значит, \(a \in [2, 5]\). С учётом \(a \geq 1\), итоговый ответ: \(a \in [2, 5]\).
8. Докажем неравенство \(S = \sqrt{1 — 3x + \sqrt{6 + 2x + \sqrt{6 + x}}} \leq 6\). Возводим обе части в квадрат: \(S^{2} = 1 — 3x + \sqrt{6 + 2x + \sqrt{6 + x}} \leq 36\). По неравенству Коши для трёх слагаемых: \((1 — 3x) + (6 + 2x) + \sqrt{6 + x} \leq 12\). Раскрываем сумму: \(1 — 3x + 6 + 2x + \sqrt{6 + x} = 7 — x + \sqrt{6 + x}\). Поскольку \(x\) не может быть меньше \(-6\), максимум достигается при \(x = -6\), тогда \(S^{2} \leq 36\), значит \(S \leq 6\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.