ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Контрольная работа 5 Вариант 1 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Вкладчик положил в банк 40 000 р. под 7% годовых. Сколько денег будет на его счёте через 2 года?
2. Найдите абсолютную погрешность приближения числа 0,43.
3. Цену товара сначала повысили на 20%, а затем снизили на 40%. Как и на сколько процентов изменилась первоначальная цена вследствие этих двух переоценок?
4. Из двух сёл, расстояние между которыми равно 16 км, отправились одновременно навстречу друг другу пешеход и велосипедист и встретились через 1 ч. Найдите скорость каждого из них, если велосипедист потратил на весь путь на 2 ч 40 мин меньше, чем пешеход.
5. Два экскаватора, работая вместе, могут вырыть котлован за 12 ч. Если сначала первый экскаватор выполнит \(\frac{1}{3}\) всей работы, а потом второй экскаватор — оставшуюся часть работы, то котлован будет вырыт за 30 ч. За сколько часов может вырыть котлован каждый экскаватор, работая самостоятельно?
6. Группа из 82 туристов расположилась на стоянке в двухместных, трёхместных и шестиместных палатках. Известно, что трёхместных палаток было меньше, чем шестиместных, а шестиместных палаток меньше, чем двухместных. Сколько было палаток каждого вида?

1. Сумма через два года: \(S = 40\,000 \cdot \left(1 + \frac{7}{100}\right)^2 = 40\,000 \cdot \left(\frac{107}{100}\right)^2 = 40\,000 \cdot 1.1449 = 45\,796\).

2. Погрешность приближения: \(\left|\frac{3}{7} — 0.43\right| = \left|\frac{3}{7} — \frac{43}{100}\right| = \frac{1}{700}\).

3. Цена сначала повысилась на 20%, затем снизилась на 40%: \(N = x \cdot 1.2 \cdot 0.6 = 0.72x\). Изменение: \(\frac{x — 0.72x}{x} \cdot 100 = 28\%\).

4. Пусть скорость пешехода \(x\), велосипедиста \(y\), тогда \(x + y = 16\), \(\frac{16}{x} — \frac{16}{y} = \frac{8}{3}\). Подставляем \(y = 16 — x\), решаем уравнение: \(x^2 — 28x + 96 = 0\), дискриминант \(D = 400\), корни \(x_1 = 4\), \(x_2 = 24\). Скорости: \(4\) км/ч и \(12\) км/ч.

5. Пусть время работы первого экскаватора \(x\), второго \(y\), тогда \(x + 2y = 90\), \( \frac{12}{x} + \frac{12}{y} = 1\). Подставляем \(x = 90 — 2y\), решаем уравнение: \(y^2 — 51y + 540 = 0\), дискриминант \(D = 441\), корни \(y_1 = 36\), \(y_2 = 15\). Соответственно \(x_1 = 18\), \(x_2 = 60\).

Ответы: 45 796; \(\frac{1}{700}\); понизилась на 28 %; 4 км/ч и 12 км/ч; 60 ч и 15 ч; 18 ч и 36 ч.

1. Начальная сумма вклада равна 40 000 рублей. Процентная ставка составляет 7% годовых. Чтобы найти сумму через два года по формуле сложных процентов, используем выражение \(S = S_0 \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right)^t\), где \(S_0 = 40\,000\), \(r = 7\), \(t = 2\). Подставляем значения: \(S = 40\,000 \cdot \left(1 + \frac{7}{100}\right)^2 = 40\,000 \cdot \left(\frac{107}{100}\right)^2 = 40\,000 \cdot 1.1449 = 45\,796\).

2. Абсолютная погрешность приближения числа 0,43 к дроби \(\frac{3}{7}\) вычисляется как разность: \(\left|\frac{3}{7} — 0.43\right|\). Переведём 0,43 в дробь \(\frac{43}{100}\), тогда разность будет \(\left|\frac{3}{7} — \frac{43}{100}\right|\). Приводим к общему знаменателю: \(\frac{300}{700} — \frac{301}{700} = \frac{1}{700}\).

3. Пусть начальная цена товара равна \(x\). После повышения цены на 20% она станет \(x \cdot 1.2\). Затем цена понижается на 40%, то есть уменьшается на 40% от новой цены, получается \(x \cdot 1.2 \cdot (1 — 0.4) = x \cdot 1.2 \cdot 0.6 = 0.72x\). Изменение цены в процентах равно \(\frac{x — 0.72x}{x} \cdot 100 = 0.28 \cdot 100 = 28\%\) понижения.

4. Обозначим скорость пешехода за \(x\) км/ч, а велосипедиста — за \(y\) км/ч. Из условия известно, что \(x + y = 16\). Разница во времени пути 16 км составляет \(2\) часа 40 минут, что равно \(\frac{8}{3}\) часа. Тогда уравнение для времени: \(\frac{16}{x} — \frac{16}{y} = \frac{8}{3}\). Выразим \(y = 16 — x\) и подставим: \(\frac{16}{x} — \frac{16}{16 — x} = \frac{8}{3}\). Приведём уравнение к общему виду: \(2\left(\frac{1}{x} — \frac{1}{16 — x}\right) = \frac{1}{3}\), что даёт \(6(16 — x) — 6x = x(16 — x)\). Раскроем скобки: \(96 — 6x — 6x = 16x — x^2\), или \(x^2 — 28x + 96 = 0\). Найдём дискриминант: \(D = 28^2 — 4 \cdot 96 = 784 — 384 = 400\). Корни уравнения: \(x_1 = \frac{28 — 20}{2} = 4\), \(x_2 = \frac{28 + 20}{2} = 24\). Поскольку скорость не может быть больше 16, выбираем \(x = 4\), тогда \(y = 16 — 4 = 12\).

5. Пусть время работы первого экскаватора \(x\) часов, второго — \(y\) часов. Из условия: \(\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}y = 30\). Умножим на 3: \(x + 2y = 90\), откуда \(x = 90 — 2y\). За 12 часов оба экскаватора выполняют всю работу вместе, значит \(\frac{12}{x} + \frac{12}{y} = 1\). Подставим \(x\): \(\frac{12}{90 — 2y} + \frac{12}{y} = 1\). Умножим на \(y(90 — 2y)\): \(12y + 12(90 — 2y) = y(90 — 2y)\). Раскроем скобки: \(12y + 1080 — 24y = 90y — 2y^2\), упрощаем: \(-12y + 1080 = 90y — 2y^2\). Переносим всё в одну сторону: \(2y^2 — 102y + 1080 = 0\), делим на 2: \(y^2 — 51y + 540 = 0\). Дискриминант: \(D = 51^2 — 4 \cdot 540 = 2601 — 2160 = 441\). Корни: \(y_1 = \frac{51 + 21}{2} = 36\), \(y_2 = \frac{51 — 21}{2} = 15\). Соответственно \(x_1 = 90 — 2 \cdot 36 = 18\), \(x_2 = 90 — 2 \cdot 15 = 60\).