ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Контрольная работа 5 Вариант 2 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Вкладчик положил в банк 60 000 р. под 8% годовых. Сколько денег будет на его счёте через 2 года?
2. Найдите абсолютную погрешность приближения числа 0,67.
3. Цену товара сначала снизили на 20%, а затем повысили на 30%. Как и на сколько процентов изменилась первоначальная цена вследствие этих двух переоценок?
4. От станции А в направлении станции В, расстояние между которыми равно 240 км, отправились одновременно два поезда. Первый поезд прибыл на станцию В на 1 ч раньше второго. Найдите скорость каждого поезда, если второй за 2 ч проходит на 40 км больше, чем первый за 1 ч.
5. Две строительные бригады, работая одновременно, могут заасфальтировать дорогу за 24 ч. Если первая бригада заасфальтирует \(\frac{1}{4}\) части дороги, а затем вторая — оставшуюся часть дороги, то вся работа будет выполнена за 45 ч. За сколько часов может заасфальтировать эту дорогу каждая бригада, работая самостоятельно?
6. В магазин завезли 54 кг муки, расфасованные в пакеты по 4 кг, 5 кг и 8 кг. Известно, что пятикилограммовых пакетов было меньше, чем восьмикилограммовых, а восьмикилограммовых пакетов меньше, чем четырёхкилограммовых. Сколько пакетов каждого вида завезли в магазин?

1. Сумма через два года:
\( S = 60000 \cdot \left(1 + \frac{8}{100}\right)^2 = 60000 \cdot \left(\frac{108}{100}\right)^2 = 60000 \cdot 1.1664 = 69984 \)
Ответ: 69984.

2. Погрешность приближения:
\( \left|\frac{2}{3} — 0.67\right| = \left|\frac{2}{3} — \frac{67}{100}\right| = \left|\frac{200}{300} — \frac{201}{300}\right| = \frac{1}{300} \)
Ответ: \( \frac{1}{300} \).

3. Цена сначала снизилась на 20%, потом повысилась на 30%:
\( N = x \cdot \left(1 — \frac{20}{100}\right) \cdot \left(1 + \frac{30}{100}\right) = x \cdot 0.8 \cdot 1.3 = 1.04x \)
Изменение в процентах:
\( \frac{N — x}{x} \cdot 100 = (1.04 — 1) \cdot 100 = 4\% \)
Ответ: повысилась на 4%.

4. Пусть \( x \) и \( y \) — скорости первого и второго поездов.
\( 2y — x = 40 \Rightarrow x = 2y — 40 \)
Время:
\( \frac{240}{y} — \frac{240}{x} = 1 \)
Подставляем \( x \):
\( \frac{240}{y} — \frac{240}{2y — 40} = 1 \)
Решаем:
\( y^2 — 140y + 4800 = 0 \), \( D = 400 \)
\( y_1 = 60, y_2 = 80 \)
Соответственно:
\( x_1 = 2 \cdot 60 — 40 = 80, x_2 = 2 \cdot 80 — 40 = 120 \)
Ответ: 80 и 60 км/ч; 120 и 80 км/ч.

5. Пусть \( x \) и \( y \) — время работы первой и второй бригад.
\( \frac{1}{4}x + \frac{3}{4}y = 45 \Rightarrow x + 3y = 180 \Rightarrow x = 180 — 3y \)
\( \frac{24}{x} + \frac{24}{y} = 1 \)
Подставляем \( x \):
\( \frac{24}{180 — 3y} + \frac{24}{y} = 1 \)
Решаем:
\( y^2 — 76y + 1440 = 0 \), \( D = 16 \)
\( y_1 = 36, y_2 = 40 \)
Соответственно:
\( x_1 = 180 — 3 \cdot 36 = 72, x_2 = 180 — 3 \cdot 40 = 60 \)
Ответ: 72 и 36 ч; 60 и 40 ч.

6. Пусть \( x, y, z \) — количество пакетов по 4, 5 и 8 кг.
Условие: \( y < z < x \)
Уравнение:
\( 4x + 5y + 8z = 54 \)
Подбираем:
\( z = 3, x = 5, y = 2 \)
Проверка:
\( 4 \cdot 5 + 5 \cdot 2 + 8 \cdot 3 = 20 + 10 + 24 = 54 \)
Ответ: 5, 2 и 3.

1. Сумма через два года при 8% годовых считается по формуле сложных процентов. Начальная сумма \(P = 60000\), процентная ставка \(r = 8\%\), срок \(n = 2\) года. Подставляем в формулу:
\( S = P \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right)^n = 60000 \cdot \left(1 + \frac{8}{100}\right)^2 = 60000 \cdot \left(\frac{108}{100}\right)^2 = 60000 \cdot 1.1664 = 69984 \).

2. Абсолютная погрешность приближения числа 0,67 дробью \(\frac{2}{3}\) равна разности между ними по модулю:
\( \left|\frac{2}{3} — 0.67\right| = \left|\frac{2}{3} — \frac{67}{100}\right| = \left|\frac{200}{300} — \frac{201}{300}\right| = \frac{1}{300} \).

3. Цена сначала снизилась на 20%, значит стала равна \(x \cdot (1 — 0.20) = 0.8x\). Потом цена повысилась на 30%, то есть стала \(0.8x \cdot (1 + 0.30) = 0.8x \cdot 1.3 = 1.04x\). Изменение цены в процентах:
\( \frac{1.04x — x}{x} \cdot 100\% = 0.04 \cdot 100\% = 4\% \).

4. Пусть скорости поездов \(x\) и \(y\), где \(x\) — скорость первого, \(y\) — второго. Из условия:
\( 2y — x = 40 \Rightarrow x = 2y — 40 \).
Время в пути разное на 1 час:
\( \frac{240}{y} — \frac{240}{x} = 1 \).
Подставляем \(x\):
\( \frac{240}{y} — \frac{240}{2y — 40} = 1 \).
Приводим к общему знаменателю и упрощаем:
\( y^2 — 140y + 4800 = 0 \).
Вычисляем дискриминант:
\( D = 140^2 — 4 \cdot 4800 = 19600 — 19200 = 400 \).
Корни:
\( y_1 = \frac{140 — 20}{2} = 60, y_2 = \frac{140 + 20}{2} = 80 \).
Соответственно:
\( x_1 = 2 \cdot 60 — 40 = 80, x_2 = 2 \cdot 80 — 40 = 120 \).

5. Пусть \(x\) и \(y\) — время работы первой и второй бригад. Из условия:
\( \frac{1}{4}x + \frac{3}{4}y = 45 \Rightarrow x + 3y = 180 \Rightarrow x = 180 — 3y \).
Вторая формула:
\( \frac{24}{x} + \frac{24}{y} = 1 \).
Подставляем \(x\):
\( \frac{24}{180 — 3y} + \frac{24}{y} = 1 \).
Умножаем на общий знаменатель и упрощаем:
\( y^2 — 76y + 1440 = 0 \).
Дискриминант:
\( D = 76^2 — 4 \cdot 1440 = 5776 — 5760 = 16 \).
Корни:
\( y_1 = \frac{76 — 4}{2} = 36, y_2 = \frac{76 + 4}{2} = 40 \).
Соответственно:
\( x_1 = 180 — 3 \cdot 36 = 72, x_2 = 180 — 3 \cdot 40 = 60 \).

6. Пусть \(x, y, z\) — количество пакетов по 4, 5 и 8 кг. Из условия:
\( y < z < x \).
Уравнение:
\( 4x + 5y + 8z = 54 \).
Подбираем целые значения, удовлетворяющие неравенствам и уравнению:
\( z = 3, x = 5, y = 2 \).
Проверяем:
\( 4 \cdot 5 + 5 \cdot 2 + 8 \cdot 3 = 20 + 10 + 24 = 54 \).