Самостоятельные и контрольные работы по алгебре для 9 класса под редакцией А.Г. Мерзляка и В.М. Полякова — это учебное пособие, созданное в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и входящее в систему учебно-методических комплектов «Алгоритм успеха». Пособие предназначено для закрепления и проверки знаний, полученных на уроках алгебры, и способствует формированию у школьников устойчивых математических умений.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Контрольная работа 6 Вариант 1 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
- Найдите значение выражения:
1) \(\frac{327!}{31!}\);
2) \(\frac{4!}{6!}\).
- В коробке лежат шары, на которых девять — синие, а остальные — зелёные. Сколько в коробке зелёных шаров, если вероятность того, что выбранный наугад шар окажется зелёным, равна \(\frac{4}{7}\)?
- Сколько чётных четырёхзначных чисел, все цифры которых различны, можно записать с помощью цифр 2, 3, 4, 7 и 9?
- Найдите все натуральные значения \(n\), при которых выполняется неравенство \(2^n > 3^n — 1\).
- В 9″А» классе учится 25 человек, а в 9″Б» — 28 человек. Сколько существует способов сформировать команду из 10 человек для участия в соревнованиях по лёгкой атлетике, если из каждого класса нужно выбрать по 5 человек?
- Из натуральных чисел от 1 до 32 включительно наугад выбирают шесть чисел. Какова вероятность того, что среди выбранных чисел не более двух окажутся кратными числу 3?
1) \(\frac{3P_{12} — P_{11}}{7P_{10}} = \frac{3 \cdot 12! — 11!}{7 \cdot 10!} = \frac{3 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10! — 11 \cdot 10!}{7 \cdot 10!} = \frac{396 — 11}{7} = \frac{385}{7} = 55\)
2) \(\frac{A_5^2}{C_6^3} = \frac{\frac{5!}{(5-2)!}}{\frac{6!}{3! \cdot (6-3)!}} = \frac{5! \cdot 3! \cdot 3!}{3! \cdot 6!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3! \cdot 3!}{3! \cdot 6!} = \frac{20 \cdot 6}{6 \cdot 20} = 1\)
\(n = 9 + m\), \(P(A) = \frac{m}{n} = \frac{4}{7}\), \(7m = 4(9 + m)\), \(7m = 36 + 4m\), \(3m = 36\), \(m = 12\)
Чётные цифры: 2, 4. Последняя цифра 2 варианта. Остальные 3 цифры выбираются из оставшихся 4, 3, 2 цифр. \(N = 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 48\)
Проверка для \(n=1,2,3\) неравенство не выполняется, для \(n \geq 4\) выполняется. Ответ: \(n \geq 4\)
\(N = C_{25}^5 \cdot C_{28}^5 = \frac{25!}{20!5!} \cdot \frac{28!}{23!5!} = 5\,221\,616\,400\)
Числа, кратные 3: 10 штук. Общее количество способов: \(C_{32}^6 = 906192\). Вероятность:
\[
P(A) = \frac{C_{22}^6 + C_{22}^5 \cdot C_{10}^1 + C_{22}^4 \cdot C_{10}^2}{C_{32}^6} = \frac{667128 + 263340 + 3971}{906192} = \frac{934439}{906192} \approx 0.74
\]
1) Рассчитаем \(3P_{12} — P_{11}\). По определению, \(P_n = n!\), значит \(P_{12} = 12!\), \(P_{11} = 11!\), \(P_{10} = 10!\). Тогда выражение:
\(\frac{3P_{12} — P_{11}}{7P_{10}} = \frac{3 \cdot 12! — 11!}{7 \cdot 10!}\).
Раскроем факториалы: \(12! = 12 \cdot 11 \cdot 10!\), \(11! = 11 \cdot 10!\). Подставим:
\(\frac{3 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10! — 11 \cdot 10!}{7 \cdot 10!} = \frac{(3 \cdot 12 \cdot 11 — 11) \cdot 10!}{7 \cdot 10!} = \frac{396 — 11}{7} = \frac{385}{7} = 55\).
2) Вычислим \(\frac{A_5^2}{C_6^3}\). Формулы: \(A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}\), \(C_n^k = \frac{n!}{k! (n-k)!}\). Значит:
\(\frac{A_5^2}{C_6^3} = \frac{\frac{5!}{(5-2)!}}{\frac{6!}{3! (6-3)!}} = \frac{5! \cdot 3! \cdot 3!}{3! \cdot 6!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3! \cdot 3!}{3! \cdot 6!}\).
Сократим \(3!\):
\(\frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!} = 1\).
3) Пусть всего шаров \(n = 9 + m\). Вероятность выбрать зелёный шар \(P(A) = \frac{m}{n} = \frac{4}{7}\). Умножим обе части на \(7n\):
\(7m = 4(9 + m) = 36 + 4m\).
Вычтем \(4m\):
\(7m — 4m = 36\), значит \(3m = 36\), откуда \(m = 12\).
4) Число должно быть чётным, значит последняя цифра 2 или 4 (2 варианта). Первая цифра может быть любой из оставшихся 4 цифр (не равна последней). Вторая — из оставшихся 3, третья — из оставшихся 2. Количество вариантов:
\(2 \times 4 \times 3 \times 2 = 48\).
5) Проверим неравенство \(2^n > 3n — 1\) для натуральных \(n\):
Для \(n=1\): \(2 > 2\) — неверно.
Для \(n=2\): \(4 > 5\) — неверно.
Для \(n=3\): \(8 > 8\) — неверно.
Для \(n=4\): \(16 > 11\) — верно.
Для больших \(n\) экспонента растёт быстрее, значит ответ: все \(n \geq 4\).
6) Количество способов выбрать команду из 5 человек из 25: \(C_{25}^5 = \frac{25!}{20!5!}\).
Из 28 человек: \(C_{28}^5 = \frac{28!}{23!5!}\).
Общее количество способов: \(N = C_{25}^5 \cdot C_{28}^5 = 5\,221\,616\,400\).
7) В числах от 1 до 32 кратных 3 ровно 10 (3, 6, 9, …, 30).
Общее количество способов выбрать 6 чисел: \(C_{32}^6 = 906\,192\).
Вероятность, что среди выбранных не более двух кратны 3, равна сумме вероятностей выбора ровно 0, 1 или 2 кратных 3:
\[
P = \frac{C_{22}^6 + C_{22}^5 \cdot C_{10}^1 + C_{22}^4 \cdot C_{10}^2}{C_{32}^6} = \frac{667\,128 + 263\,340 + 3\,971}{906\,192} = \frac{934\,439}{906\,192} \approx 0.74
\]
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.