ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Контрольная работа 7 Вариант 1 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Найдите первый отрицательный член арифметической прогрессии 6,8; 5,9; 5,5; … .
2. Первый и четвёртый члены геометрической прогрессии соответственно равны 2,5 и 20. Найдите сумму восьми первых членов этой прогрессии.
3. При каком значении \(x\) значения выражений \(2x + 6\), \(x + 7\) и \(x + 4\) будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.
4. Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 27, а сумма трёх её первых членов равна 35. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.
5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 6, которые больше 100 и меньше 200.
6. Последовательность задана рекуррентно: \(a_1 = 4\), \(a_2 = 10\), \(a_{n+2} = 40 — a_{n+1} — 3a_n\). Докажите, что \(a_n = 3^n + 1\).
7. Найдите сумму \(\frac{1}{\sqrt{1 + \sqrt{6}}} + \frac{1}{\sqrt{1 + \sqrt{16}}} + \frac{1}{\sqrt{1 + \sqrt{11}}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{1 + \sqrt{121}}}\).

1. \(a_1 = 6{,}3\), \(a_2 = 5{,}9\), разность \(d = a_2 — a_1 = -0{,}4\).
Общий член \(a_n = a_1 + d(n-1) = 6{,}3 — 0{,}4(n-1)\).
Найдем \(n\), при котором \(a_n < 0\):
\(6{,}3 — 0{,}4(n-1) < 0\),
\(6{,}3 < 0{,}4(n-1)\),
\(n-1 > \frac{6{,}3}{0{,}4} = 15{,}75\),
\(n > 16{,}75\),
значит \(n = 17\).

2. \(b_1 = 2{,}5\), \(b_4 = 20\),
\(b_4 = b_1 \cdot q^3\),
\(20 = 2{,}5 \cdot q^3\),
\(q^3 = 8\),
\(q = 2\).
Сумма первых 8 членов:
\(S_8 = b_1 \cdot \frac{q^8 — 1}{q — 1} = 2{,}5 \cdot \frac{2^8 — 1}{2 — 1} = 2{,}5 \cdot (256 — 1) = 2{,}5 \cdot 255 = 637{,}5\).

3. \(b_1 = 2x + 6\), \(b_2 = x + 7\), \(b_3 = x + 4\).
Условие геометрической прогрессии:
\((x+7)^2 = (2x+6)(x+4)\),
\(x^2 + 14x + 49 = 2x^2 + 8x + 6x + 24\),
\(x^2 + 14x + 49 = 2x^2 + 14x + 24\),
Переносим все влево:
\(x^2 + 14x + 49 — 2x^2 — 14x — 24 = 0\),
\(-x^2 + 25 = 0\),
\(x^2 = 25\),
\(x = \pm 5\).
Если \(x = -5\), то \(b_1 = -4\), \(b_2 = 2\), \(b_3 = -1\).
Если \(x = 5\), то \(b_1 = 16\), \(b_2 = 12\), \(b_3 = 9\).

4. Сумма бесконечной прогрессии \(S = \frac{b_1}{1 — q} = 27\),
сумма первых трёх членов \(S_3 = b_1 \frac{1 — q^3}{1 — q} = 35\).
Из первого: \(b_1 = 27(1 — q)\).
Подставляем во второе:
\(27(1 — q) \frac{1 — q^3}{1 — q} = 35\),
\(27(1 — q^3) = 35\),
\(1 — q^3 = \frac{35}{27}\),
\(q^3 = 1 — \frac{35}{27} = -\frac{8}{27}\),
\(q = -\frac{2}{3}\).
Тогда \(b_1 = 27(1 — (-\frac{2}{3})) = 27 \cdot \frac{5}{3} = 45\).

5. Числа кратные 6 от 102 до 198:
первый член \(a_1 = 102\), последний \(a_n = 198\),
шаг \(d = 6\),
количество членов \(n = \frac{198 — 102}{6} + 1 = 16 + 1 = 17\).
Сумма:
\(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{17}{2}(102 + 198) = \frac{17}{2} \cdot 300 = 2550\).

6. Дано: \(a_1 = 4\), \(a_2 = 10\), \(a_{n+2} = 4a_{n+1} — 3a_n\).
Проверим \(a_n = 3^n + 1\):
\(a_1 = 3^1 + 1 = 4\),
\(a_2 = 3^2 + 1 = 10\).
Подставим в рекуррентное:
\(a_{n+2} = 4a_{n+1} — 3a_n = 4(3^{n+1} + 1) — 3(3^n + 1) = 4 \cdot 3^{n+1} + 4 — 3 \cdot 3^n — 3 =\)
\(= 9 \cdot 3^n + 1 = 3^{n+2} + 1\).

7. Сумма ряда:
\(\frac{1}{\sqrt{1 + \sqrt{6}}} + \frac{1}{\sqrt{1 + \sqrt{16}}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{1 + \sqrt{121}}} = \frac{1}{5}(\sqrt{121} — \sqrt{1}) = \frac{1}{5}(11 — 1) = \frac{10}{5} = 2\).

1. Даны первые два члена арифметической прогрессии \(a_1 = 6{,}3\), \(a_2 = 5{,}9\). Найдём разность:
\(d = a_2 — a_1 = 5{,}9 — 6{,}3 = -0{,}4\).
Общий член прогрессии выражается формулой:
\(a_n = a_1 + d(n-1) = 6{,}3 — 0{,}4(n-1)\).
Чтобы найти первый отрицательный член, решим неравенство:
\(a_n < 0\), значит
\(6{,}3 — 0{,}4(n-1) < 0\),
\(6{,}3 < 0{,}4(n-1)\),
\(n-1 > \frac{6{,}3}{0{,}4} = 15{,}75\),
\(n > 16{,}75\), значит первый отрицательный член при \(n = 17\).

2. Известно, что первый член геометрической прогрессии \(b_1 = 2{,}5\), а четвёртый \(b_4 = 20\). Формула общего члена:
\(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\).
Подставим \(n=4\):
\(b_4 = b_1 \cdot q^3 = 20\),
\(2{,}5 \cdot q^3 = 20\),
\(q^3 = \frac{20}{2{,}5} = 8\),
\(q = \sqrt[3]{8} = 2\).
Сумма первых 8 членов:
\(S_8 = b_1 \cdot \frac{q^8 — 1}{q — 1} = 2{,}5 \cdot \frac{2^8 — 1}{2 — 1} = 2{,}5 \cdot (256 — 1) = 2{,}5 \cdot 255 = 637{,}5\).

3. Даны три выражения: \(2x + 6\), \(x + 7\), \(x + 4\). Они образуют геометрическую прогрессию, значит выполняется условие:
\((x + 7)^2 = (2x + 6)(x + 4)\).
Раскроем скобки:
\(x^2 + 14x + 49 = 2x^2 + 8x + 6x + 24 = 2x^2 + 14x + 24\).
Перенесём все в левую часть:
\(x^2 + 14x + 49 — 2x^2 — 14x — 24 = 0\),
\(-x^2 + 25 = 0\),
\(x^2 = 25\),
\(x = \pm 5\).
Проверим при \(x = -5\):
\(2(-5) + 6 = -4\), \( -5 + 7 = 2\), \(-5 + 4 = -1\).
При \(x = 5\):
\(2(5) + 6 = 16\), \(5 + 7 = 12\), \(5 + 4 = 9\).

4. Пусть первый член бесконечной геометрической прогрессии \(b_1\), знаменатель \(q\). Из условия:
Сумма бесконечной прогрессии \(S = \frac{b_1}{1 — q} = 27\),
Сумма трёх первых членов:
\(S_3 = b_1 \cdot \frac{1 — q^3}{1 — q} = 35\).
Из первого уравнения выразим \(b_1 = 27(1 — q)\).
Подставим во второе:
\(27(1 — q) \cdot \frac{1 — q^3}{1 — q} = 35\),
\(27(1 — q^3) = 35\),
\(1 — q^3 = \frac{35}{27}\),
\(q^3 = 1 — \frac{35}{27} = -\frac{8}{27}\),
\(q = \sqrt[3]{-\frac{8}{27}} = -\frac{2}{3}\).
Тогда
\(b_1 = 27 \left(1 — \left(-\frac{2}{3}\right)\right) = 27 \cdot \frac{5}{3} = 45\).

5. Найдём сумму всех натуральных чисел, кратных 6, которые больше 100 и меньше 200.
Первое такое число: \(102\) (так как \(6 \times 17 = 102\)),
Последнее: \(198\) (так как \(6 \times 33 = 198\)).
Количество членов:
\(n = \frac{198 — 102}{6} + 1 = \frac{96}{6} + 1 = 16 + 1 = 17\).
Сумма арифметической прогрессии:
\(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{17}{2}(102 + 198) = \frac{17}{2} \cdot 300 = 2550\).

6. Дана рекуррентная формула:
\(a_1 = 4\), \(a_2 = 10\), \(a_{n+2} = 4a_{n+1} — 3a_n\).
Проверим гипотезу \(a_n = 3^n + 1\).
Для \(n=1\):
\(a_1 = 3^1 + 1 = 4\),
Для \(n=2\):
\(a_2 = 3^2 + 1 = 10\).
Подставим в рекуррентное:
\(a_{n+2} = 4a_{n+1} — 3a_n = 4(3^{n+1} + 1) — 3(3^n + 1) = 4 \cdot 3^{n+1} + 4 — 3 \cdot 3^n — 3 =\)
\(= 12 \cdot 3^n + 1 — 3 \cdot 3^n = 9 \cdot 3^n + 1 = 3^{n+2} + 1\).
Значит формула верна.

7. Рассмотрим сумму ряда:
\(\frac{1}{\sqrt{1 + \sqrt{6}}} + \frac{1}{\sqrt{1 + \sqrt{16}}} + \frac{1}{\sqrt{1 + \sqrt{11}}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{1 + \sqrt{121}}}\).
Каждое слагаемое можно упростить, заметив, что
\(\frac{1}{\sqrt{1 + \sqrt{m}}} = \sqrt{1 — \sqrt{m}}\) после рационализации.
Сумма становится телескопической и равна:
\(\frac{1}{5}(\sqrt{121} — \sqrt{1}) = \frac{1}{5}(11 — 1) = \frac{10}{5} = 2\).