ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Контрольная работа 7 Вариант 2 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Найдите первый положительный член арифметической прогрессии \(-8,1; — 7,9; — 7,7; … \).
2. Первый и шестой члены геометрической прогрессии соответственно равны 2 и -64. Найдите сумму десяти первых членов этой прогрессии.
3. При каком значении \(x\) значения выражений \(x + 1\), \(x + 5\) и \(2x + 4\) будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.
4. Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 162, а сумма трёх её первых членов равна 156. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.
5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 8, которые больше 50 и меньше 180.
6. Последовательность задана рекуррентно: \(a_1 = 3\), \(a_2 = 5\), \(a_{n+2} = 3a_{n+1} — 2a_n\). Докажите, что \(a_n = 2^n + 1\).
7. Найдите сумму \(\frac{1}{\sqrt{1 + \sqrt{6}}} + \frac{1}{\sqrt{1 + \sqrt{16}}} + \frac{1}{\sqrt{1 + \sqrt{11}}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{1 + \sqrt{121}}}\).

1. \(a_1 = -8,1, \quad d = 0,2\)
\(a_n = a_1 + d(n-1) > 0\)
\(-8,1 + 0,2(n-1) > 0\)
\(0,2n — 8,3 > 0\)
\(n > 41,5\)
Ответ: 42.

2. \(b_1 = 2, \quad b_6 = -64\)
\(b_6 = b_1 \cdot q^5 \Rightarrow 2 \cdot q^5 = -64\)
\(q^5 = -32\)
\(q = -2\)
Сумма 10 членов:
\(S_{10} = b_1 \frac{q^{10} — 1}{q — 1} = 2 \cdot \frac{(-2)^{10} — 1}{-3} = 2 \cdot \frac{1024 — 1}{-3} = 2 \cdot \frac{1023}{-3} = -682\)
Ответ: -682.

3. \(b_1 = x+1, \quad b_2 = x+5, \quad b_3 = 2x+4\)
Геометрическая прогрессия: \(b_2^2 = b_1 b_3\)
\((x+5)^2 = (x+1)(2x+4)\)
\(x^2 + 10x + 25 = 2x^2 + 6x + 4\)
\(x^2 — 4x — 21 = 0\)
\(D = 16 + 84 = 100\)
\(x_1 = \frac{4 — 10}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{4 + 10}{2} = 7\)
Если \(x = -3\), то \(b_1 = -2, b_2 = 2, b_3 = -2\)
Если \(x = 7\), то \(b_1 = 8, b_2 = 12, b_3 = 18\)
Ответ: если \(x = -3\), то \(-2; 2; -2\), если \(x = 7\), то \(8; 12; 18\).

4. \(S = \frac{b_1}{1 — q} = 162\)
\(S_3 = b_1 \frac{1 — q^3}{1 — q} = 156\)
\(b_1 = 162(1 — q)\)
Подставим:
\(162(1 — q)(1 — q^3)/(1 — q) = 156 \Rightarrow 162(1 — q^3) = 156\)
\(1 — q^3 = \frac{26}{27}\)
\(q^3 = \frac{1}{27}\)
\(q = \frac{1}{3}\)
\(b_1 = 162(1 — \frac{1}{3}) = 108\)
Ответ: \(b_1 = 108, q = \frac{1}{3}\).

5. \(a_1 = 56, \quad a_n = 176, \quad d = 8\)
\(n = \frac{176 — 56}{8} + 1 = 16\)
\(S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{56 + 176}{2} \cdot 16 = 1856\)
Ответ: 1856.

6. \(a_1 = 3, a_2 = 5, a_{n+2} = 3a_{n+1} — 2a_n\)
Проверка:
\(a_n = 2^n + 1\)
\(a_{n+2} = 3a_{n+1} — 2a_n\)
\(2^{n+2} + 1 = 3(2^{n+1} + 1) — 2(2^n + 1)\)
\(4 \cdot 2^n + 1 = 3 \cdot 2 \cdot 2^n + 3 — 2 \cdot 2^n — 2\)
\(4 \cdot 2^n + 1 = 4 \cdot 2^n + 1\)
Что и требовалось доказать.

7. Сумма:
\(\frac{1}{\sqrt{1 + \sqrt{8}}} + \frac{1}{\sqrt{1 + \sqrt{15}}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{1 + \sqrt{169}}}\)
Упрощается до:
\(\frac{1}{7}(\sqrt{169} — \sqrt{1}) = \frac{1}{7}(13 — 1) = \frac{12}{7} = 1 \frac{5}{7}\)
Ответ: \(1 \frac{5}{7}\).

1. Даны первые два члена арифметической прогрессии \(a_1 = 6{,}3\), \(a_2 = 5{,}9\). Найдём разность:
\(d = a_2 — a_1 = 5{,}9 — 6{,}3 = -0{,}4\).
Общий член прогрессии выражается формулой:
\(a_n = a_1 + d(n-1) = 6{,}3 — 0{,}4(n-1)\).
Чтобы найти первый отрицательный член, решим неравенство:
\(a_n < 0\), значит
\(6{,}3 — 0{,}4(n-1) < 0\),
\(6{,}3 < 0{,}4(n-1)\),
\(n-1 > \frac{6{,}3}{0{,}4} = 15{,}75\),
\(n > 16{,}75\), значит первый отрицательный член при \(n = 17\).

2. Известно, что первый член геометрической прогрессии \(b_1 = 2{,}5\), а четвёртый \(b_4 = 20\). Формула общего члена:
\(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\).
Подставим \(n=4\):
\(b_4 = b_1 \cdot q^3 = 20\),
\(2{,}5 \cdot q^3 = 20\),
\(q^3 = \frac{20}{2{,}5} = 8\),
\(q = \sqrt[3]{8} = 2\).
Сумма первых 8 членов:
\(S_8 = b_1 \cdot \frac{q^8 — 1}{q — 1} = 2{,}5 \cdot \frac{2^8 — 1}{2 — 1} = 2{,}5 \cdot (256 — 1) = 2{,}5 \cdot 255 = 637{,}5\).

3. Даны три выражения: \(2x + 6\), \(x + 7\), \(x + 4\). Они образуют геометрическую прогрессию, значит выполняется условие:
\((x + 7)^2 = (2x + 6)(x + 4)\).
Раскроем скобки:
\(x^2 + 14x + 49 = 2x^2 + 8x + 6x + 24 = 2x^2 + 14x + 24\).
Перенесём все в левую часть:
\(x^2 + 14x + 49 — 2x^2 — 14x — 24 = 0\),
\(-x^2 + 25 = 0\),
\(x^2 = 25\),
\(x = \pm 5\).
Проверим при \(x = -5\):
\(2(-5) + 6 = -4\), \( -5 + 7 = 2\), \(-5 + 4 = -1\).
При \(x = 5\):
\(2(5) + 6 = 16\), \(5 + 7 = 12\), \(5 + 4 = 9\).

4. Пусть первый член бесконечной геометрической прогрессии \(b_1\), знаменатель \(q\). Из условия:
Сумма бесконечной прогрессии \(S = \frac{b_1}{1 — q} = 27\),
Сумма трёх первых членов:
\(S_3 = b_1 \cdot \frac{1 — q^3}{1 — q} = 35\).
Из первого уравнения выразим \(b_1 = 27(1 — q)\).
Подставим во второе:
\(27(1 — q) \cdot \frac{1 — q^3}{1 — q} = 35\),
\(27(1 — q^3) = 35\),
\(1 — q^3 = \frac{35}{27}\),
\(q^3 = 1 — \frac{35}{27} = -\frac{8}{27}\),
\(q = \sqrt[3]{-\frac{8}{27}} = -\frac{2}{3}\).
Тогда
\(b_1 = 27 \left(1 — \left(-\frac{2}{3}\right)\right) = 27 \cdot \frac{5}{3} = 45\).

5. Найдём сумму всех натуральных чисел, кратных 6, которые больше 100 и меньше 200.
Первое такое число: \(102\) (так как \(6 \times 17 = 102\)),
Последнее: \(198\) (так как \(6 \times 33 = 198\)).
Количество членов:
\(n = \frac{198 — 102}{6} + 1 = \frac{96}{6} + 1 = 16 + 1 = 17\).
Сумма арифметической прогрессии:
\(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{17}{2}(102 + 198) = \frac{17}{2} \cdot 300 = 2550\).

6. Дана рекуррентная формула:
\(a_1 = 4\), \(a_2 = 10\), \(a_{n+2} = 4a_{n+1} — 3a_n\).
Проверим гипотезу \(a_n = 3^n + 1\).
Для \(n=1\):
\(a_1 = 3^1 + 1 = 4\),
Для \(n=2\):
\(a_2 = 3^2 + 1 = 10\).
Подставим в рекуррентное:
\(a_{n+2} = 4a_{n+1} — 3a_n = 4(3^{n+1} + 1) — 3(3^n + 1) = 4 \cdot 3^{n+1} + 4 — 3 \cdot 3^n — 3 =\)
\(= 12 \cdot 3^n + 1 — 3 \cdot 3^n = 9 \cdot 3^n + 1 = 3^{n+2} + 1\).
Значит формула верна.

7. Рассмотрим сумму ряда:
\(\frac{1}{\sqrt{1 + \sqrt{6}}} + \frac{1}{\sqrt{1 + \sqrt{16}}} + \frac{1}{\sqrt{1 + \sqrt{11}}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{1 + \sqrt{121}}}\).
Каждое слагаемое можно упростить, заметив, что
\(\frac{1}{\sqrt{1 + \sqrt{m}}} = \sqrt{1 — \sqrt{m}}\) после рационализации.
Сумма становится телескопической и равна:
\(\frac{1}{5}(\sqrt{121} — \sqrt{1}) = \frac{1}{5}(11 — 1) = \frac{10}{5} = 2\).